Le relazioni in matematica: di equivalenza e di ordine
Nel campo della matematica, le relazioni di equivalenza e di ordine sono strumenti chiave per la classificazione e l’organizzazione di oggetti in base a specifiche proprietà. Questo articolo si propone di esaminare in dettaglio queste due tipologie di relazioni, mettendo in evidenza le loro caratteristiche distintive e discutendo le differenze fondamentali tra di esse.
Inizieremo esplorando le relazioni di equivalenza, che raggruppano elementi in classi basate su una proprietà condivisa. Queste relazioni sono caratterizzate da tre proprietà: riflessività, simmetria e transitività. Approfondiremo ciascuna di queste proprietà per comprendere come una relazione di equivalenza crei un insieme di classi di equivalenza, dove ogni elemento in una classe è considerato equivalente agli altri elementi della stessa classe.
Dopo aver esplorato le relazioni di equivalenza, ci sposteremo sulle relazioni di ordine. Queste relazioni organizzano gli elementi in una struttura gerarchica, basata su criteri come "minore di", "maggiore di" o "precede". Ci concentreremo su due tipi principali: le relazioni di ordine parziale e totale, esaminando come queste relazioni siano caratterizzate da riflessività, antisimmetria e transitività.
Scopriamole insieme!
Cos’è una relazione di equivalenza
Una relazione è di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Per una relazione di equivalenza, quindi, devono valere contemporaneamente le tre proprietà che abbiamo studiato. Consideriamo un insieme £$ A $£. La relazione £$ \mathcal{R} $£ è una relazione di equivalenza se gode di queste proprietà:
- riflessiva se £$ \forall a \in A \ a \mathcal{R} a $£
- simmetrica: £$ \forall a, b \in A $£ se £$ a \mathcal{R} b \Rightarrow b \mathcal{R} a $£
- transitiva: £$ \forall a, b, c \in A $£ se £$ a \mathcal{R} b $£ e £$ b \mathcal{R} c \Rightarrow a \mathcal{R} c $£.
Cos’è una relazione d’ordine
Relazione di ordine largo
Relazione di ordine stretto
La relazione d’ordine in un insieme £$A$£ mette in ordine gli elementi: possiamo stabilire quale elemento "viene prima" e quale "viene dopo".
Perché questo sia possibile la relazione deve essere:
- antisimmetrica perché in qualsiasi "ordine" se £$a$£ è prima di £$b$£, allora £$b$£ non può essere prima di £$a$£;
- transitiva perché la stessa relazione deve mettere in "ordine" più di un elemento, senza contraddirsi: se £$a$£ è prima di £$b$£ e £$b$£ è prima di £$c$£, allora £$a$£ è prima di £$c$£.
Una relazione è di ordine:
- largo se, oltre ad essere transitiva e antisimmetrica, è anche riflessiva;
- stretto se è una relazione transitiva e antisimmetrica, è non è riflessiva.
Qual è il rapporto tra le relazioni di equivalenza e d’ordine?
Hai visto cos’è una relazione di equivalenza e una relazione d’ordine. Ma a cosa servono? E quale "relazione" c’è tra loro?
Una relazione di equivalenza ci fa venire in mente che gli elementi in relazione sono "praticamente uguali" (o equivalenti), mentre una relazione d’ordine ci permette di "ordinare" (fare una specie di classifica) gli elementi.
Relazioni di equivalenza e d’ordine: esercizi svolti
Fai pratica con noi: prima esercitati a capire di che tipo di relazione si tratta, se di equivalenza o di ordine. Dopo esercitati a trovare la relazione e poi l’insieme!
Ora che sai praticamente tutto sulle relazioni, allenati con questi esercizi svolti sulle relazioni di equivalenza e d’ordine. Come riconoscere se una relazione e di equivalenza o d’ordine? Basta controllare quali proprietà ha!
Sicuramente deve esserci la proprietà transitiva (questa per forza), ma poi? Simmetrica o antisimmetrica? Allenati con questi esercizi svolti sulle relazioni d’ordine e di equivalenza!