Le proprietà delle relazioni tra insiemi

Nel contesto degli insiemi, una relazione è un modo per associare elementi di un insieme con elementi di un altro, o dello stesso, insieme. Queste associazioni sono cruciali perché permettono di definire concetti come ordine, equivalenza e funzioni. Le proprietà di queste relazioni aiutano a comprendere la struttura e le caratteristiche degli insiemi coinvolti.

Ad esempio, una relazione può essere riflessiva, se ogni elemento è in relazione con se stesso; simmetrica, se l’ordine degli elementi nella relazione non è importante; o transitiva, dove se un elemento è in relazione con un secondo e questo con un terzo, allora anche il primo è in relazione con il terzo. Queste proprietà non sono solo astrazioni matematiche, ma hanno applicazioni concrete in vari campi come la logica, l’informatica e la teoria dei grafi.

Scopriamole insieme!

• Le relazioni definite in un insieme
• Proprietà riflessiva delle relazioni di un insieme
• Proprietà simmetrica delle relazioni di un insieme
• Proprietà transitiva delle relazioni di un insieme
• Proprietà antisimmetrica delle relazioni di un insieme
• Proprietà antiriflessiva e asimmetrica delle relazioni di un insieme

Le relazioni definite in un insieme

Ora che hai imparato cos’è una relazione, cerchiamo di capire dove si usano in matematica. Cosa succede se creiamo una relazione che ha insieme di partenza uguale all’insieme di arrivo? Abbiamo di fronte una relazione definita in un insieme!

Possiamo classificare queste relazioni in base alle proprietà di cui godono. Le proprietà delle relazioni sono:

• proprietà riflessiva;
  
• proprietà simmetrica;
  
• proprietà transitiva;
  
• proprietà antisimmetrica;
• proprietà antisimmetrica;
  
• proprietà antiriflessiva;
  
• proprietà asimmetrica.

Una relazione può godere di una o più di queste proprietà. È importante capire di quali proprietà gode una relazione perché possiamo conoscere in maniera più approfondita il rapporto tra gli elementi (e risolvere velocemente gli esercizi!).

Proprietà riflessiva delle relazioni di un insieme

Una relazione gode della proprietà riflessiva se ogni elemento è in relazione con se stesso. Cosa significa? Consideriamo un insieme £$ A $£ e una relazione £$ \mathcal{R} $£. Questa riflessione ha la proprietà riflessiva se cioè £$\forall a \in A \Rightarrow a \mathcal{R} a $£.

Esempio: consideriamo l’insieme dei numeri naturali £$ \mathbb{N} $£ e la relazione £$ \mathcal{R}$£: "£$a $£ è uguale a £$ b $£". Se prendiamo un numero naturale qualsiasi £$ a = 3 $£, possiamo dire che "£$ 3 $£ è uguale a £$ 3 $£", quindi vediamo che £$ 3 \mathcal{R}3 $£. Possiamo fare questa prova con tutti i numeri naturali, vediamo che vale sempre. Questa relazione gode della proprietà riflessiva.

Proprietà simmetrica delle relazioni di un insieme

Una relazione può godere della proprietà simmetrica. Come possiamo verificarlo? Se un elemento è in relazione con un altro, vale il viceversa, cioè anche l’altro è in relazione con il primo elemento.

Possiamo scrivere che, se prendiamo £$ a, b \in A $£, la relazione £$ \mathcal{R} $£ gode della proprietà simmetrica se £$ a \mathcal{R} b $£ e anche £$ b \mathcal{R} $£. Scriviamo bene £$\forall a,b \in A $£ abbiamo che £$a \mathcal{R} b \Rightarrow b\mathcal{R} a$£.

Esempio: consideriamo l’insieme £$ P $£ dei poligoni e la relazione £$ \mathcal{R} $£: "£$a$£ ha lo stesso numero di lati di £$ b $£". Scegliamo £$ a $£ un quadrilatero e £$ b $£ un parallelogramma. Possiamo dire che un quadrilatero ha lo stesso numero di lati di un parallelogramma, ma anche un parallelogramma ha lo stesso numero di lati di un quadrilatero, cioè sempre 4. Allora questa relazione gode della proprietà simmetrica perché:

quadrilatero £$ \mathcal{R} $£ parallelogramma £$ \Rightarrow $£ parallelogramma £$ \mathcal{R} $£ quadrilatero.

Proprietà transitiva delle relazioni di un insieme

Un’altra proprietà delle relazioni è la proprietà transitiva. Prendiamo tre elementi a due a due in relazione tra di loro. Consideriamo cioè £$ a, b, c \in A $£ e consideriamo la relazione £$ \mathcal{R} $£. Se £$a\mathcal{R} b$£ e £$b\mathcal{R} c$£ allora risulta £$a\mathcal{R}c$£.

Esempio: consideriamo l’insieme £$ \mathbb{N} $£ dei numeri naturali e la relazione £$ \mathcal{R} $£: "£$ a $£ è più piccolo di £$ b $£". Consideriamo i numeri 2, 4, 8. Sappiamo che 2 è più piccolo di 4 e che 4 è più piccolo di 8, quindi 2 £$ \mathcal{R} $£ 4 e 4 £$ \mathcal{R} $£ 8. Vediamo chiaramente che 2 è più piccolo di 8, quindi 2 £$ \mathcal{R} $£ 8. Quindi la relazione £$ \mathcal{R} $£ che abbiamo considerato gode della proprietà transitiva.

Proprietà antisimmetrica delle relazioni di un insieme

Un’altra proprietà delle relazioni è la proprietà antisimmetrica. In un insieme £$ A $£ consideriamo gli elementi £$ a, b \in A $£ e la relazione £$ \mathcal{R} $£. Se £$a\,\mathcal{R}\, b$£ e £$b\,\mathcal{R}\, a $£ allora deve essere £$a=b$£.

Esempio: puoi verificare nell’insieme dei numeri naturali £$ \mathbb{N} $£ che questa proprietà vale per la relazione £$ \mathcal{R} $£: "£$ a $£ è minore o uguale di £$ b $£". Quanto vale che £$ a \mathcal{R} b $£ e anche che £$ b \mathcal{R} a $£, allora sappiamo che £$ a = b $£.

Proprietà antiriflessiva e asimmetrica delle relazioni di un insieme

Proprietà asimmetrica

Proprietà antiriflessiva

Ecco altre due proprietà delle relazioni. Queste sono meno "intuitive", nel senso della definizione, ma sono fondamentali nel campo della logica matematica. Vediamo le definizioni:

• proprietà asimmetrica: se £$a\, \mathcal{R}\, b$£ allora £$b\, \mathcal{\not R}\, a$£;
• proprietà antiriflessiva: nessun elemento è in relazione con se stesso, cioè £$\forall a, a\, \mathcal{\not R}\, a$£.

Attenzione: una relazione non simmetrica può non essere asimmetrica, ma esistono anche relazioni antisimmetriche che non sono simmetriche. Quindi la proprietà antisimmetrica non è l’opposto di quella simmetrica.

Per capire se una relazione gode di una (o più) di queste proprietà, serve tanta attenzione alla definizione e sicuramente molti esempi per capire come giocare con le definizioni. Qui ne troverai alcuni. Se ne vuoi di più, allenati con gli esercizi sulle proprietà delle relazioni e leggi la spiegazione!

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.