Area del triangolo, del trapezio e dei poligoni regolari

L'area del triangolo è la metà di quella di un rettangolo con le stesse dimensioni. L'area di un trapezio è uguale all'area di un triangolo con la base uguale alla somma delle basi del trapezio. L'area dei poligoni regolari è uguale alla somma delle aree dei triangolini in cui puoi scomporli, quindi al prodotto tra il perimetro del poligono per l'apotema. Impara le formule dirette e inverse dell'area!

L'area del parallelogramma, e quindi anche del rettangolo, si trova moltiplicando la base e l'altezza. L'area del quadrato si trova elevando al quadrato il lato, oppure calcolando la metà del quadrato della diagonale. L'altra formula per le aree dove si usano le diagonali è quella dei quadrilateri con le diagonali perpendicolari: infatti l'area è la metà del prodotto tra le due diagonali. Da queste formule possiamo ricavare l'area del triangolo, e poi quella dei trapezi. Con l'area del triangolo è facile trovare l'area di tutti i poligoni regolari.

Il triangolo è la metà di un rettangolo che ha la sua stessa base e altezza. Quindi l'area del triangolo è £$A_{\text{triangolo}}=\frac{b \cdot h}{2}$£

Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli, la base maggiore £$ B $£ e la base minore £$ b $£, e due non paralleli, i lati obliqui. Il trapezio è equivalente, cioè ha la stessa area, di un triangolo che ha la stessa altezza £$ h $£ del trapezio e la base uguale alla somma delle basi del trapezio. L'area di un trapezio, quindi, è: £$ A_{\text{trapezio}}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$£

I poligoni regolari sono quei poligoni con tutti i lati e gli angoli uguali. Il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono regolare, l'esagono regolare ecc. sono tutti poligoni regolari. Il perimetro è facile da trovare perché hanno tutti i lati uguali. Indichiamo il perimetro con £$2p$£ e lo calcoliamo facendo la somma di tutti gli £$n$£ lati: la formula £$2p=n \cdot l$£. Per trovare l'area invece bisogna scomporre il poligono in tanti triangoli: unendo i vertici opposti trovi tanti triangoli quanti sono i lati e sommando tutte queste aree trovi l'area del poligono regolare. Chiamiamo l'altezza di ogni triangolino, apotema e la indichiamo con £$a$£. La formula per calcolare l'area è: £$A_{\text{poligono regolare}}=\frac{2p \cdot a}{2}$£

Per risolvere i problemi di geometria e quindi per trovare l'area e il perimetro di figure geometriche qualsiasi prova a scomporle nella somma di quadrilateri, triangoli o poligoni di cui conosci la formula per calcolare l'area e il perimetro. Per imparare questi trucchi risolvi gli esercizi dei livelli!

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Prerequisiti per imparare a calcolare l'area di triangoli, trapezi e poligoni regolari

I prerequisiti per imparare a calcolare l'area di triangoli, trapezi e poligoni regolari sono:

Area del triangolo

Il triangolo è un poligono di tre lati. I triangoli vengono classificati in base ai lati (equilatero, isoscele, scaleno), oppure in base agli angoli (rettangolo, acutangolo, ottusangolo). Ogni triangolo ha una base ed un'altezza relativa alla base. Nei triangoli acutangoli l'altezza è interna al triangolo, in quelli rettangoli può coincidere con un cateto ed in quelli ottusangoli può essere esterna. Per calcolare l'area è importante sapere la misura della base £$b$£ e dell'altezza relativa alla base £$h$£. Infatti la formula per calcolare l'area di un triangolo è:

£$A= \frac{b \cdot h}{2}$£

Traccia una delle diagonali del rettangolo, troverai due triangoli. Oppure "raddoppia" un triangolo, troverai un rettangolo. Ecco perché la formula per trovare l'area del triangolo è la metà di quella per trovare l'area del rettangolo.
Le formule inverse si ricavano a partire dalla formula dell'area. Moltiplica per £$2$£ l'area e poi dividi per la base se vuoi trovare l'altezza o, viceversa per l'altezza se vuoi trovare la base! Ricorda sempre che per ottenere le formule inverse devi fare le operazioni inverse di quelle delle formule dirette!

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Area del trapezio

Un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli e due no. I lati paralleli si chiamano basi, gli altri sono i lati obliqui. I trapezi, quindi, non sono parallelogrammi.

Tutti i trapezi possono essere visti come l'unione di un rettangolo e due triangoli rettangoli. C'è solo un'eccezione, quella del trapezio rettangolo, in cui c'è un solo lato obliquo; il quarto lato è perpendicolare alla base quindi la figura è l'unione di un rettangolo ed un solo triangolo rettangolo. Quando la base minore e l'altezza hanno la stessa misura il trapezio è unione di un quadrato e uno o due triangoli rettangoli! Per calcolare l'area del trapezio, quindi, potresti scomporlo in queste figure che conosci già, oppure puoi usare la formula generale.

Per calcolare l'area del trapezio hai bisogno di conoscere la misura della base maggiore £$B$£, della baseminore £$b$£ e dell'altezza.

L'area del trapezio è: £$A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$£

Per capire meglio questa formula, prolunga la base maggiore di un segmento lungo quanto la base minore e uniscila con il lato obliquo opposto: troverai un triangolo di base £$B+b$£ e altezza £$h$£ equivalente al trapezio!

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Area dei poligoni regolari

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Un poligono è una figura geometrica delimitata da una linea spezzata chiusa. Tutti i quadrilateri ed i triangoli di cui abbiamo studiato le formule dell'area sono dei poligoni. Sono dei poligoni anche il pentagono, l'esagono, il dodecagono ecc.
Tra i poligoni ci sono quelli regolari, cioè quelli che hanno tutti i lati e tutti gli angoli congruenti.

Il perimetro dei poligoni regolari è facile da trovare! Basta moltiplicare la misura del lato per il numero di lati. Se £$n$£ è il numero di lati del poligono regolare allora
£$ \text{perimetro} = p = n \cdot l $£

Come calcolare l’area dei poligoni regolari?

Possiamo scomporre i poligoni regolari in triangoli tutti uguali, tanti quanti sono i lati del poligono. Quindi troviamo l’area di un poligono regolare sommando le aree di tutti questi triangoli. Chiamiamo l'altezza di questi triangolini apotema.Per trovare la formula dell'area di un poligono regolare con apotema £$a$£ e perimetro £$p$£ si usa la formula:
£$A = \frac{p \cdot a}{2}$£
Per ora risolveremo solo problemi in cui l'apotema è un dato conosciuto. Quando studieremo la circonferenza e i poligoni iscritti o circoscritti, oppure quando fare il teorema di Pitagora capiremo come calcolare l'apotema! Le formule inverse si ricavano da quella diretta dell'area. Potresti dover trovare:

  • l'apotema dati area e perimetro: £$a=\frac{2A}{p}$£
  • oppure il perimetro date area e apotema: £$p=\frac{2a}{A}$£

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Esercizi svolti Area del triangolo, del trapezio e dei poligoni regolari

Ecco gli esercizi su Area del triangolo, del trapezio e dei poligoni regolari in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Aree di poligoni. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Geometria

Esercizi Area del triangolo, del trapezio e dei poligoni regolari - 1

In questi esercizi troverai le formule per calcolare l'area dei triangoli, dei trapezi e dei poligoni regolari. Impara a ricavare le formule inverse e ripassa la teoria!

Esercizi Area del triangolo, del trapezio e dei poligoni regolari - 2

Con questi esercizi e problemi di geometria sarà più semplice ricordare le formule dell'area del triangolo, del trapezio e dei poligoni regolari. Impara anche le formule inverse leggendo la spiegazione!

Esercizi Area del triangolo, del trapezio e dei poligoni regolari - 3

Negli esercizi del livello 3 trovi dei problemi di geometria in cui è necessario calcolare l'area di triangoli, trapezi e poligoni regolari. Usa le formule dirette e quelle inverse!

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