L'area dei poligoni regolari: triangolo e trapezio

Tra le molte forme geometriche che possiamo incontrare, i poligoni regolari detengono un posto particolare grazie alla loro simmetria e regolarità. In questo articolo, andremo a esplorare il calcolo dell’area di due poligoni regolari molto comuni: il trapezio e il triangolo.

Ma prima di tuffarci nel calcolo dell’area, facciamo un breve ripasso: che cos’è un poligono regolare? Un poligono regolare è una figura piana chiusa, composta da un certo numero di lati tutti uguali tra loro, e di angoli uguali. Alcuni esempi comuni di poligoni regolari sono il triangolo equilatero, il quadrato, l’esagono regolare e così via.

E cos’è l’area? L’area è la misura della superficie di una figura. Pensala come la quantità di “spazio” che la figura occupa. È una grandezza fondamentale in geometria e la sua unità di misura in sistema internazionale è il metro quadrato.

Ora, passiamo all’argomento principale: come si calcola l’area dei poligoni regolari, in particolare del trapezio e del triangolo? Scopriamolo insieme!

• L'area dei poligoni regolari
• Area del triangolo
• Come calcolare l'area del trapezio
• Come calcolare l'area dei poligoni regolari

L’area dei poligoni regolari

Il triangolo è la metà di un rettangolo che ha la sua stessa base e altezza. Quindi l’area del triangolo è £$A_{\text{triangolo}}=\frac{b \cdot h}{2}$£

Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli, la base maggiore £$ B $£ e la base minore £$ b $£, e due non paralleli, i lati obliqui. Il trapezio è equivalente, cioè ha la stessa area, di un triangolo che ha la stessa altezza £$ h $£ del trapezio e la base uguale alla somma delle basi del trapezio. L’area di un trapezio, quindi, è: £$ A_{\text{trapezio}}=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$£

I poligoni regolari sono quei poligoni con tutti i lati e gli angoli uguali. Il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono regolare, l’esagono regolare ecc. sono tutti poligoni regolari. Il perimetro è facile da trovare perché hanno tutti i lati uguali. Indichiamo il perimetro con £$2p$£ e lo calcoliamo facendo la somma di tutti gli £$n$£ lati: la formula £$2p=n \cdot l$£. Per trovare l’area invece bisogna scomporre il poligono in tanti triangoli: unendo i vertici opposti trovi tanti triangoli quanti sono i lati e sommando tutte queste aree trovi l’area del poligono regolare. Chiamiamo l’altezza di ogni triangolino, apotema e la indichiamo con £$a$£. La formula per calcolare l’area è: £$A_{\text{poligono regolare}}=\frac{2p \cdot a}{2}$£

Per risolvere i problemi di geometria e quindi per trovare l’area e il perimetro di figure geometriche qualsiasi prova a scomporle nella somma di quadrilateri, triangoli o poligoni di cui conosci la formula per calcolare l’area e il perimetro. Per imparare questi trucchi risolvi gli esercizi dei livelli!

Area del triangolo

Il triangolo è un poligono di tre lati. I triangoli vengono classificati in base ai lati (equilatero, isoscele, scaleno), oppure in base agli angoli (rettangolo, acutangolo, ottusangolo). Ogni triangolo ha una base ed un’altezza relativa alla base. Nei triangoli acutangoli l’altezza è interna al triangolo, in quelli rettangoli può coincidere con un cateto ed in quelli ottusangoli può essere esterna. Per calcolare l’area è importante sapere la misura della base £$b$£ e dell’altezza relativa alla base £$h$£. Infatti la formula per calcolare l’area di un triangolo è:

£$A= \frac{b \cdot h}{2}$£

Traccia una delle diagonali del rettangolo, troverai due triangoli. Oppure “raddoppia” un triangolo, troverai un rettangolo. Ecco perché la formula per trovare l’area del triangolo è la metà di quella per trovare l’area del rettangolo.
Le formule inverse si ricavano a partire dalla formula dell’area. Moltiplica per £$2$£ l’area e poi dividi per la base se vuoi trovare l’altezza o, viceversa per l’altezza se vuoi trovare la base! Ricorda sempre che per ottenere le formule inverse devi fare le operazioni inverse di quelle delle formule dirette!

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Come calcolare l’area del trapezio

Un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli e due no. I lati paralleli si chiamano basi, gli altri sono i lati obliqui. I trapezi, quindi, non sono parallelogrammi.

Tutti i trapezi possono essere visti come l’unione di un rettangolo e due triangoli rettangoli. C’è solo un’eccezione, quella del trapezio rettangolo, in cui c’è un solo lato obliquo; il quarto lato è perpendicolare alla base quindi la figura è l’unione di un rettangolo ed un solo triangolo rettangolo. Quando la base minore e l’altezza hanno la stessa misura il trapezio è unione di un quadrato e uno o due triangoli rettangoli! Per calcolare l’area del trapezio, quindi, potresti scomporlo in queste figure che conosci già, oppure puoi usare la formula generale.

Per calcolare l’area del trapezio hai bisogno di conoscere la misura della base maggiore £$B$£, della base minore £$b$£ e dell’altezza.

L’area del trapezio è: £$A=\frac{(B+b)\cdot h}{2}$£

Per capire meglio questa formula, prolunga la base maggiore di un segmento lungo quanto la base minore e uniscila con il lato obliquo opposto: troverai un triangolo di base £$B+b$£ e altezza £$h$£ equivalente al trapezio!

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Come calcolare l’area dei poligoni regolari

Un poligono è una figura geometrica delimitata da una linea spezzata chiusa. Tutti i quadrilateri ed i triangoli di cui abbiamo studiato le formule dell’area sono dei poligoni. Sono dei poligoni anche il pentagono, l’esagono, il dodecagono ecc.
Tra i poligoni ci sono quelli regolari, cioè quelli che hanno tutti i lati e tutti gli angoli congruenti.

Il perimetro dei poligoni regolari è facile da trovare! Basta moltiplicare la misura del lato per il numero di lati. Se £$n$£ è il numero di lati del poligono regolare allora
£$ \text{perimetro} = p = n \cdot l $£

Come calcolare l’area dei poligoni regolari?

Possiamo scomporre i poligoni regolari in triangoli tutti uguali, tanti quanti sono i lati del poligono. Quindi troviamo l’area di un poligono regolare sommando le aree di tutti questi triangoli. Chiamiamo l’altezza di questi triangolini apotema.Per trovare la formula dell’area di un poligono regolare con apotema £$a$£ e perimetro £$p$£ si usa la formula:
£$A = \frac{p \cdot a}{2}$£
Per ora risolveremo solo problemi in cui l’apotema è un dato conosciuto. Quando studieremo la circonferenza e i poligoni iscritti o circoscritti, oppure quando fare il teorema di Pitagora capiremo come calcolare l’apotema!

Le formule inverse si ricavano da quella diretta dell’area:

• l’apotema dati area e perimetro: £$a=\frac{2A}{p}$£
• oppure il perimetro date area e apotema: £$p=\frac{2A}{a}$£

Trovi la tabella con tutte le formule qui.