Circonferenza: definizione, calcolo della lunghezza e Pi Greco

In questa lezione imparerai come calcolare la lunghezza di una circonferenza.

Scopri i segreti di pi greco: è il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro. Perché i babilonesi hanno introdotto questo numero irrazionale?

Trova le formule per la lunghezza della circonferenza e impara a ricavare le formule inverse.

Una circonferenza è il luogo dei punti tutti equidistanti da un punto fisso chiamato centro. Ogni circonferenza si distingue dalle altre in base alla lunghezza del raggio, cioè alla distanza fissa dal centro.

E quanto è lunga una circonferenza? Per tutte le figure abbiamo imparato a calcolare il perimetro sommando tutte le lunghezze dei lati. Ma una circonferenza non ha lati, quindi come facciamo?

Esiste una formula per calcolare la lunghezza di una circonferenza.

Scopri la dimostrazione della formula per la lunghezza della circonferenza e impara a calcolare la lunghezza di un arco di circonferenza.

Conosci un numero un po’ particolare, £$ \pi $£ e impara la sua storia. Sappiamo che è il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e la misura del suo diametro, ma chi sono stati i primi a parlarne?

Allenati con gli esercizi e impara anche come misurare la lunghezza della circonferenza terrestre!

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Prerequisiti per imparare a misurare la lunghezza della circonferenza

I prerequisiti per imparare a misurare la lunghezza della circonferenza sono:

Eratostene misura la circonferenza della Terra

Il primo a misurare la circonferenza terrestre fu Eratostene intorno al £$ 200 \text{ a.C.} $£.

Eratostene è conosciuto come il padre della geografia, ma è stato anche matematico, astronomo e poeta. Egli era a conoscenza del fatto che la Terra fosse rotonda e che il Sole fosse abbastanza lontano perché i suoi raggi raggiungessero la Terra seguendo linee parallele. Osservò la differente pendenza dei raggi del Sole durante il solstizio d’estate nelle città di Siene e di Alessandria d’Egitto.

Conoscendo la distanza tra le due città, riuscì ad impostare una proporzione e a trovare la lunghezza della circonferenza terrestre: circa £$ 40 \ 500 \text{ km} $£! Una misura incredibilmente vicina alla lunghezza reale, misurata accuratamente molti anni dopo £$( 40 \ 075 \text{ km} )$£.

Come calcolare la lunghezza della circonferenza?

La circonferenza costituisce il contorno del cerchio. Calcolare la lunghezza della circonferenza equivale a calcolare il perimetro del cerchio.

La lunghezza di una circonferenza vale approssimativamente £$ 3 $£ volte la lunghezza del diametro. Infatti la formula per trovare la lunghezza di una circonferenza di raggio £$ r $£ è:

$$ \text{Circonferenza} = \pi \cdot \text{diametro} $$

cioè

$$ C = \pi \cdot 2r = 2 \pi r $$

Pi greco, che indichiamo con il simbolo £$ \pi $£, è un numero e vale circa £$ 3,14 $£. Ecco perché la circonferenza è lunga circa £$ 3 $£ volte il diametro.

Possiamo ricavare la misura del raggio a partire da quella della circonferenza utilizzando la formula inversa:

$$ r = \frac{C}{2 \pi} $$

E come si fa a misurare la lunghezza di un arco di circonferenza? Esiste una proporzionalità diretta tra l'ampiezza dell'angolo al centro e la lunghezza dell'arco su cui insiste: più ampio è l'angolo, maggiore è la lunghezza dell'arco. Se indichiamo con £$ l $£ la lunghezza dell'arco, possiamo impostare la proporzione che ci permette di calcolare quanto misura:

$$ 360^\circ : \alpha = 2\pi \cdot r : l $$

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Che cos'è £$ \pi $£?

Il simbolo £$ \pi $£ è stato introdotto nel £$ 1706 $£ dal matematico William Jones, ma è diventato di uso comune dal £$ 1748 $£ grazie ad Eulero. £$ \pi $£ è il valore che si ottiene dividendo la lunghezza di una circonferenza per il suo diametro.

Si dice che i primi a trovare un’approssimazione di £$ \pi $£ furono i Babilonesi: £$ \frac{25}{8} $£, cioè circa £$ 3,125 $£. Probabilmente i costruttori di carri erano curiosi di sapere quanta strada potesse percorrere una ruota di un certo diametro in un giro completo. Anche gli Egizi conoscevano il Pi greco e lo avevano approssimato così: £$ \pi = \left( \frac{8d}{9} \right)^2 $£, circa £$ 3,16 $£.

La prima dimostrazione rigorosa del Pi greco venne proposta però da Archimede: il grande matematico, partendo da una circonferenza di raggio £$ 1 $£, vi inscrisse e circoscrisse un esagono regolare, poi un ottagono, un decagono… e via di seguito fino ad un poligono regolare con ben £$ 96 $£ lati! Man mano che aumenta il numero dei lati, le aree dei poligoni si avvicinano sempre più a quella del cerchio di raggio £$ 1 $£, che sappiamo essere uguale a £$ \pi $£. Quindi Archimede riuscì a delimitare il valore di Pi greco tra due numeri razionali:

$$ \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} $$

Per risolvere gli esercizi, spesso approssimiamo £$ \pi $£ con il numero £$ 3,14 $£ senza doverci portare dietro le infinite cifre decimali di questo numero irrazionale.

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