Prerequisiti per imparare le caratteristiche dei poligoni inscritti e circoscritti
I prerequisisti per imparare le caratteristiche dei poligoni inscritti e circoscritti sono:
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Poligoni inscritti e circoscritti
Quali sono le differenze tra poligoni inscritti e circoscritti? Scopri come riconoscerli anche tra gli oggetti di tutti i giorni. Ripassa le formule che legano la lunghezza del raggio e la lunghezza del lato del poligono inscritto o circoscritto alla circonferenza. Ripassa tutte le proprietà dei poligoni regolari!
Appunti
Abbiamo imparato tutti i segreti della circonferenza e del cerchio: come si calcola la lunghezza della circonferenza, come si calcola la misura dell’area… Abbiamo visto che all’interno di una circonferenza possiamo disegnare corde, segmenti circolari e settori circolari. Ma possiamo anche combinare la circonferenza con i poligoni e trovare poligoni inscritti e circoscritti.
Che cosa significa inscritto? Il termine inscritto significa scritto o inciso in una figura: un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza e il poligono si trova tutto all’interno della circonferenza.
E cosa significa circoscritto? Il termine circoscritti significa limitato, contenuto entro certi limiti: un poligono è circoscritto ad una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza e il poligono si trova all’esterno della circonferenza.
In questa lezione vedremo quali poligoni possono essere inscritti o circoscritti ad una circonferenza: i poligoni regolari sono un caso particolare.
Impara le proprietà dei poligoni inscritti e allenati con gli esercizi spiegati!Contenuti di questa lezione su: Poligoni inscritti e circoscritti
Poligoni inscritti e circoscritti intorno a noi
Tra gli oggetti che ci circondano, ci capita spesso di trovare delle figure racchiuse all'interno di circonferenze o altre figure geometriche, oppure figure che racchiudono una circonferenza. Si tratta di figure inscritte o circoscritte.
Un esempio particolare è l’uomo vitruviano che vediamo tutti i giorni sulle monete da £$ 1 $£€: la figura ideata da Leonardo Da Vinci voleva indicare le perfette proporzioni dell’uomo che è inscritto contemporaneamente in un quadrato e in una circonferenza.
L’uomo vitruviano è solo un esempio, ma hai mai fatto caso ai loghi delle auto, dei videogiochi o anche i simboli dei supereroi? Spesso sono immagini inscritte in delle circonferenze o in altri poligoni particolari! Prova a trovare altri esempi dal mondo che ti circonda!
Come riconoscere un poligono inscritto o circoscritto?
Un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza.
Se anche solo un punto è esterno o interno alla circonferenza, allora il poligono non è inscritto. Infatti il termine "inscritto" significa proprio "scritto o inciso dentro a una figura": un poligono inscritto in una circonferenza si trova tutto all’interno della circonferenza e i suoi vertici sono punti della circonferenza.
Un poligono è circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
Se uno o più lati non sono tangenti alla circonferenza, allora il poligono non è circoscritto. Infatti il termine "circoscritto" significa "limitato, contenuto entro determinati limiti": un poligono circoscritto ad una circonferenza si trova tutto all'esterno della circonferenza e i suoi lati hanno un solo punto in comune con la circonferenza, cioè sono tangenti alla circonferenza.
Se un poligono è inscritto in una circonferenza, possiamo dire che la circonferenza è circoscritta al poligono. Viceversa, se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, possiamo dire che la circonferenza è inscritta nel poligono.
Proprietà dei poligoni inscritti e circoscritti
I triangoli possono sempre essere inscritti e circoscritti ad una circonferenza. Ti ricordi? Per tre punti non allineati passa sempre una e una sola circonferenza. Questi tre punti potrebbero essere i vertici di un triangolo: il centro della circonferenza circoscritta è il circocentro (il punto di intersezione degli assi del triangolo), il centro della circonferenza inscritta è l’incentro (il punto in cui si intersecano tutte le bisettrici del triangolo). Se un lato del triangolo corrisponde con un diametro della circonferenza, allora il triangolo è rettangolo. I triangoli rettangoli possono sempre essere inscritti in una semicirconferenza che ha il diametro uguale all’ipotenusa del triangolo.
Non vale lo stesso discorso invece per i quadrilateri: non tutti i poligoni con quattro lati possono essere circoscritti ad una circonferenza. Un quadrilatero può essere circoscritto ad una circonferenza solo se la somma di due lati opposti è uguale alla somma degli altri due: per esempio tutti i quadrilateri che hanno quattro lati uguali e congruenti (come il quadrato e il rombo) possono sempre essere circoscritti ad una circonferenza, mentre dobbiamo fare attenzione con i trapezi e gli altri quadrilateri. Un quadrilatero può essere inscritto in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.
I rettangoli possono sempre essere inscritti in una circonferenza: il diametro della circonferenza corrisponde alla diagonale del poligono. Invece non possono essere circoscritti a una circonferenza perché non riusciamo a disporre la circonferenza all’interno del rettangolo in modo che sia tangente a tutti i quattro lati del poligono.
I trapezi isosceli possono essere sempre inscritti in una circonferenza. Solo i trapezi isosceli in cui la somma delle basi è uguale alla somma dei lati obliqui possono essere circoscritti ad una circonferenza.
I parallelogrammi in generale non possono mai essere inscritti o circoscritti a una circonferenza.
I rombi possono sempre essere circoscritti a una circonferenza, mentre possono essere inscritti solo se le due diagonali sono uguali, cioè solo se il rombo è un quadrato.
Poligoni regolari
Ti ricordi le costruzioni dei poligoni regolari con riga e compasso? Per disegnare un poligono regolare, ritroviamo sempre una circonferenza: è il caso del pentagono, dell’esagono, ma anche dei poligoni regolari con più lati.
I poligoni regolari si possono sempre inscrivere e circoscrivere ad una circonferenza. Il bello dei poligoni regolari inscritti o circoscritti è che hanno spesso molte caratteristiche utili per risolvere i problemi di geometria: il raggio della circonferenza inscritta in un qualunque poligono regolare è l’apotema. Grazie all’apotema possiamo calcolare l’area di un poligono regolare:
$$ A = \frac{\text{perimetro} \cdot \text{apotema}}{2} $$
Un caso particolare è l’esagono: il raggio della circonferenza circoscritta all’esagono è uguale al lato del poligono! Infatti se disegniamo le tre diagonali dell’esagono, lo suddividiamo in £$ 6 $£ triangoli equilateri, quindi il lato dell’esagono è uguale al raggio della circonferenza circoscritta.
Poligoni regolari particolari
Triangolo equilatero
Quadrato
Esagono regolare
In tutti i poligoni regolari, il raggio della circonferenza inscritta nel poligono è l’apotema che utilizziamo per calcolare l’area.
In un triangolo equilatero, il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo è esattamente £$ \frac{1}{3} $£ dell’altezza £$(h)$£ del triangolo. Il raggio £$(r_c)$£ della circonferenza circoscritta al triangolo è il doppio del raggio £$(r_i)$£ della circonferenza inscritta. Quindi possiamo ricavare tutte le informazioni necessarie per trovare l’area del triangolo inscritto (o circoscritto) in una circonferenza.
$$ \text{apotema} = r_i = \frac{1}{3} h \quad \quad r_c = 2r_i = \frac{2}{3}h \quad \quad h = \frac{\text{lato} \cdot \sqrt 3}{2} \\ A = \frac{\text{lato}^2 \cdot \sqrt{3}}{4} $$
In un quadrato il raggio £$(r_i)$£ della circonferenza inscritta è uguale alla metà del lato £$(l)$£ del quadrato. Il raggio £$(r_c)$£ della circonferenza circoscritta è uguale alla metà della diagonale del quadrato.
$$ \text{apotema} = r_i = \frac{1}{2} l \quad \quad \text{diagonale} = l \cdot \sqrt{2} \quad \quad r_c = \frac{\text{diagonale}}{2} = \frac{l \cdot \sqrt 2}{2} = \sqrt 2 \, r_i \\ A = l^2 = (2r_i)^2 = \frac{(2 r_c)^2}{2} $$
In un esagono regolare il raggio £$(r_c)$£ della circonferenza circoscritta è uguale al lato dell’esagono regolare. Pensiamo poi all’area dell’esagono come all’area di sei triangoli equilateri che hanno lato uguale al lato dell’esagono, cioè uguali al raggio della circonferenza circoscritta al poligono. Quindi per trovare l’area di un esagono, moltiplichiamo per £$ 6 $£ l’area di uno di questi triangolini.
$$ r_c = \text{lato} \quad \quad A = 6 \cdot \frac{r_c^2 \sqrt 3}{4} $$
