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Relazioni tra circonferenze, punti e rette
Quali possono essere le posizioni reciproche di due circonferenze che si trovano sullo stesso piano?
Impara a distinguere rette secanti, tangenti e esterne a una circonferenza. Scopri come riconoscere circonferenze interne, esterne e tangenti.
In questa lezione capirai tutte le relazioni tra le figure del piano: circonferenze, punti e rette.
Appunti
Ora che sai come distinguere una circonferenza da un cerchio e sai distinguere tutte gli elementi di una e dell’altro, cerchiamo di capire le posizioni reciproche di punti e rette rispetto ad una circonferenza.
Scopri quante circonferenze riesci a disegnare dato uno, due o tre punti: sono infinite o una sola? Riconosci quando un punto appartiene a una circonferenza e mettiti alla prova con gli esercizi.
Studia i rapporti tra rette e circonferenze: una retta può essere secante, tangente o esterna a una circonferenza. Impara come distinguerle!
Possiamo parlare anche delle posizioni reciproche di due circonferenze: ci sono molti più casi tra cui distinguere! Fai attenzione a non confondere circonferenze interne o esterne e impara la definizione di circonferenze concentriche.
Puoi ritrovare queste forme geometriche in molte situazioni reali: pensa alle strade con una rotonda, oppure ai quadri di Kandinsky in cui queste forme geometriche si mischiano e si confondono. Mettiti alla prova con gli esercizi per verificare la tua preparazione!
Contenuti di questa lezione su: Relazioni tra circonferenze, punti e rette
Circonferenza e punti
Quante circonferenze passano per un punto? E quante ne passano per due punti? Come può essere un punto rispetto a una circonferenza?
Proviamo a disegnare un punto… Riusciamo a trovare infinite circonferenze che passano per un punto!
Vale lo stesso discorso anche per due punti: dati due punti riusciamo a disegnare infinite circonferenze che passano per quei due punti. Basta variare la lunghezza del raggio.
Aggiungiamo ancora un punto e cosa succede? Riusciamo a trovare solo una circonferenza che passa per tre punti! Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
Un punto rispetto ad una circonferenza può essere:
- interno se la sua distanza dal centro è minore del raggio: il punto appartiene al cerchio;
- esterno se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio: il punto non appartiene al cerchio;
- sulla circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale al raggio: il punto appartiene alla circonferenza.
Circonferenza e rette
Studiamo le posizioni reciproche di una circonferenza e una retta.
Abbiamo una circonferenza di centro £$ O $£ e raggio £$ r $£ e una retta £$ s $£. Chiamiamo £$ OH $£ il segmento che parte dal centro della circonferenza perpendicolare alla retta £$ s $£.
Una retta £$ s $£ rispetto ad una circonferenza può essere:
- esterna se non ha alcun punto in comune con la circonferenza, cioè £$ OH > r $£;
- secante se ha due punti in comune con la circonferenza e quindi £$ OH < r $£;
- tangente se ha un solo punto in comune con la circonferenza, cioè £$ OH = r $£.
Proprietà delle tangenti
- Una retta tangente ad una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio: se £$ s $£ è tangente alla circonferenza di centro £$ O $£, allora £$ s \bot OH $£.
- I due segmenti condotti da un punto esterno alla circonferenza e tangenti alla circonferenza sono congruenti.
Posizioni reciproche di due circonferenze
Due circonferenze possono avere un punto in comune, due punti in comune o nessun punto in comune.
Consideriamo due circonferenze, la prima di centro £$ O $£ e raggio £$ r $£, la seconda di centro £$ O’ $£ e raggio £$ r’ $£. Vediamo il rapporto tra la distanza dei due centri e i raggi delle circonferenze per capire le loro posizioni reciproche.
Due circonferenze possono essere:
- esterne se la distanza tra due centri è maggiore della somma dei raggi, cioè £$ \overline{OO’} > r + r’ $£; le due circonferenze non hanno punti in comune;
- tangenti esternamente se la distanza tra due centri è proprio uguale alla somma dei due raggi, cioè £$ \overline{OO’} = r + r’ $£;
- secanti se la distanza tra i due centri è minore della somma dei due raggi, ma è maggiore della somma dei due raggi, cioè £$ r - r’ < \overline{OO’} < r + r’ $£;
- tangenti internamente se la distanza tra i due centri è uguale alla differenza tra i due raggi, cioè £$ \overline{OO’} = r - r’ $£;
- interne se la distanza tra i due centri è minore della differenza dei due raggi, cioè £$ \overline{OO’} < r - r’ $£;
- concentriche se i due centri coincidono, cioè £$ \overline{OO’} = 0 $£. Se in più i due raggi sono uguali, cioè £$ r = r' $£, le due conferenze coincidono, quindi sono sovrapposte.
