Le relazioni tra circonferenze, punti e rette
Circonferenze, punti e rette sono concetti fondamentali nella geometria, ciascuno con le proprie caratteristiche uniche e modi in cui interagiscono tra loro. Un punto è un concetto astratto che rappresenta una posizione precisa nello spazio. Non ha dimensioni (cioè, né lunghezza, né larghezza, né altezza). È spesso rappresentato con un piccolo punto o una marca, ma questo è solo un modo per visualizzarlo. In geometria, i punti sono usati per definire posizioni e costruire altri oggetti geometrici come linee e cerchi.
Una retta è una serie infinita di punti allineati che si estende in entrambe le direzioni all’infinito. Non ha né spessore né estremità. Le rette sono definite da due punti, ma continuano oltre questi punti in entrambe le direzioni. In geometria, le rette sono usate per rappresentare percorsi lineari o per definire allineamenti e angoli.
Una circonferenza è l’insieme di tutti i punti in un piano che distano una distanza fissa da un punto centrale. Questa distanza fissa è il raggio della circonferenza. Una circonferenza non è lo stesso del cerchio; il cerchio include la circonferenza e tutti i punti all’interno di essa, mentre la circonferenza è solo il contorno.
La relazione tra punti, rette e circonferenze è un tema centrale nella geometria. Ad esempio:
- Un punto può trovarsi su una retta o una circonferenza, o può essere esterno ad entrambi.
- Una retta può intersecare una circonferenza in due punti, toccarla in un solo punto (essere tangente), o non intersecarla affatto.
- I punti di intersezione tra rette e circonferenze sono utili per risolvere problemi geometrici e per comprendere le proprietà delle figure.
Vediamo insieme queste relazioni!
- La relazione tra circonferenza e punti
- La relazione tra circonferenza e rette
- Le posizioni reciproche di due circonferenze
La relazione tra circonferenza e punti
Quante circonferenze passano per un punto? E quante ne passano per due punti? Come può essere un punto rispetto a una circonferenza?
Proviamo a disegnare un punto… Riusciamo a trovare infinite circonferenze che passano per un punto!
Vale lo stesso discorso anche per due punti: dati due punti riusciamo a disegnare infinite circonferenze che passano per quei due punti. Basta variare la lunghezza del raggio.
Aggiungiamo ancora un punto e cosa succede? Riusciamo a trovare solo una circonferenza che passa per tre punti! Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza.
Un punto rispetto ad una circonferenza può essere:
- interno se la sua distanza dal centro è minore del raggio: il punto appartiene al cerchio;
- esterno se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio: il punto non appartiene al cerchio;
- sulla circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale al raggio: il punto appartiene alla circonferenza.
La relazione tra circonferenza e rette
Studiamo le posizioni reciproche di una circonferenza e una retta.
Abbiamo una circonferenza di centro £$ O $£ e raggio £$ r $£ e una retta £$ s $£.
Chiamiamo £$ OH $£ il segmento che parte dal centro della circonferenza perpendicolare alla retta £$ s $£.
Una retta £$ s $£ rispetto ad una circonferenza può essere:
- esterna se non ha alcun punto in comune con la circonferenza, cioè £$ OH > r $£;
- secante se ha due punti in comune con la circonferenza e quindi [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] OH
- tangente se ha un solo punto in comune con la circonferenza, cioè £$ OH = r $£.
Proprietà delle tangenti
- Una retta tangente ad una circonferenza è sempre perpendicolare al raggio: se £$ s $£ è tangente alla circonferenza di centro £$ O $£, allora £$ s \bot OH $£.
- I due segmenti condotti da un punto esterno alla circonferenza e tangenti alla circonferenza sono congruenti.
Le posizioni reciproche di due circonferenze
Due circonferenze possono avere un punto in comune, due punti in comune o nessun punto in comune.
Consideriamo due circonferenze, la prima di centro £$ O $£ e raggio £$ r $£, la seconda di centro £$ O’ $£ e raggio £$ r’ $£. Vediamo il rapporto tra la distanza dei due centri e i raggi delle circonferenze per capire le loro posizioni reciproche.
Due circonferenze possono essere:
- esterne se la distanza tra due centri è maggiore della somma dei raggi, cioè £$ \overline{OO’} > r + r’ $£; le due circonferenze non hanno punti in comune;
- tangenti esternamente se la distanza tra due centri è proprio uguale alla somma dei due raggi, cioè £$ \overline{OO’} = r + r’ $£;
- secanti se la distanza tra i due centri è minore della somma dei due raggi, ma è maggiore della somma dei due raggi, cioè [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] r – r’
- tangenti internamente se la distanza tra i due centri è uguale alla differenza tra i due raggi, cioè £$ \overline{OO’} = r – r’ $£;
- interne se la distanza tra i due centri è minore della differenza dei due raggi, cioè [iol_placeholder type="formula" engine="katex" display="inline"] \overline{OO’}
- concentriche se i due centri coincidono, cioè £$ \overline{OO’} = 0 $£. Se in più i due raggi sono uguali, cioè £$ r = r’ $£, le due conferenze coincidono, quindi sono sovrapposte.