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I criteri di congruenza e di similitudine dei triangoli

Agostino Sapienza

Agostino Sapienza

INSEGNANTE DI MATEMATICA

Sono nato a Reggio Calabria il 07/10/85. Mi sono diplomato nel 2005 all'Istituto Magistrale Statale Tommaso Gulli. Ho conseguito la laurea triennale in Relazioni Internazionali a Messina e in Economia Internazionale a Padova. Dopo un pò di anni negli studi commercialisti sono stato chiamato per una supplenza covid nella classe di insegnamento A47. Ho poi conseguito l'abilitazione a Trieste nel sostegno e sono entrato di ruolo nel 2023

Il triangolo, una delle figure geometriche più semplici e allo stesso tempo affascinanti, è stato oggetto di studio e di ammirazione per generazioni di matematici e geometri. Due dei concetti più importanti associati ai triangoli sono la congruenza e la similitudine, eppure, spesso, sono fonte di confusione per molti. Ma cosa significano esattamente questi termini e come possono essere utilizzati per studiare e confrontare diversi triangoli?

Quando parliamo di “congruenza“, ci riferiamo a triangoli che sono essenzialmente identici in forma e dimensione. Immagina di ritagliare un triangolo da un pezzo di carta e di sovrapporlo perfettamente a un altro: se combaciano esattamente, sono congruenti. Questo significa che hanno lati della stessa lunghezza e angoli della stessa ampiezza.

La “similitudine“, invece, si riferisce a triangoli che condividono la stessa forma ma possono avere dimensioni diverse. Due triangoli simili hanno angoli uguali, ma i loro lati sono proporzionali piuttosto che identici in lunghezza. Potresti pensare a un modello di triangolo e alla sua versione ridimensionata: differenti in dimensione, ma simili nella forma.

In questo articolo, cercheremo di chiarire questi concetti e di descrivere quali sono i tre criteri di congruenza e i tre criteri di similitudine dei triangoli!

Tabelle sui criteri di congruenza e similitudine

Questo schema riassuntivo ti sarà utile per cercare di ripassare i criteri di similitudine e di congruenza dei triangoli: stampalo e portalo sempre con te!

Cos’è la congruenza tra triangoli

Congruenza di triangoli

Hai già visto quando due segmenti sono congruenti: quando si sovrappongono perfettamente e la loro lunghezza è la stessa.

Come facciamo invece a riconoscere due triangoli congruenti? Anche in questo caso possiamo dire che due triangoli sono congruenti quando sono perfettamente sovrapponibili, punto per punto.

In due triangoli congruenti, lati corrispondenti e angoli corrispondenti sono congruenti: quindi hanno la stessa misura!
Nella figura i lati £$ AB $£, £$ A’B’$£ e £$A’’B’’$£ sono lati corrispondenti in triangoli congruenti. Allora sono congruenti!

£$ AB\cong A’B’\cong A’’B’’ $£

Ma se fisicamente non possiamo o non riusciamo a verificare che due triangoli sono sovrapponibili, come possiamo stabilire se sono congruenti? Per fortuna esistono i criteri di congruenza dei triangoli! Se riesci a verificare le ipotesi di almeno un criterio di congruenza, allora puoi concludere che due triangoli sono congruenti.

Primo criterio di congruenza dei triangoli

Due triangoli sono congruenti quando hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.

Ipotesi

£$\overline{AB}=\overline{A’B’}$£ £$\overline{CA}=\overline{C’A’}$£ £$B\widehat{A}C=B’\widehat{A’}C’$£

Tesi

£$ \stackrel{\triangle}{ABC}\, \cong\,\stackrel{\triangle}{A’B’C’}$£

Possiamo riassumere il primo criterio di congruenza con la sigla LAL: Lato, Angolo, Lato.

Secondo criterio di congruenza dei triangoli

Due triangoli sono congruenti quando hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso.

Ipotesi
£$ \overline{AB}=\overline{A’B’} $£
£$ C\widehat{A}B\cong C’\widehat{A’}B’ $£
£$ A\widehat{B}C \cong A’\widehat{B’}C’ $£

Tesi
£$ \stackrel{\triangle}{ABC}\, \cong\,\stackrel{\triangle}{A’B’C’}$£

Possiamo riassumere il secondo criterio di congruenza con la sigla ALA: Angolo, Lato, Angolo.

Terzo criterio di congruenza dei triangoli

Due triangoli sono congruenti quando hanno rispettivamente congruenti tutti e tre i lati.

Ipotesi
£$ \overline{AB}=\overline{A’B’} $£
£$ \overline{BC}=\overline{B’C’} $£
£$ \overline{CA}=\overline{C’A’} $£

Tesi
£$ \stackrel{\triangle}{ABC}\, \cong\,\stackrel{\triangle}{A’B’C’}$£

Possiamo riassumere il terzo criterio di congruenza con la sigla LLL: Lato, Lato, Lato.

Primo criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli sono simili se hanno due coppie di angoli corrispondenti congruenti.

Ipotesi

£$\widehat{A} \cong \widehat{A’}$£ £$\widehat{B}\cong\widehat{B’}$£

Tesi

£$A \stackrel \triangle{B} C$£ e £$A’ \stackrel \triangle{B’} C’$£ sono simili

Secondo criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli sono simili se hanno due coppie di lati corrispondenti proporzionali e gli angoli compresi congruenti.

Ipotesi

£$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A’B’}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{B’C’}}$£ £$\widehat{B}\cong\widehat{B’}$£

Tesi

£$A \stackrel \triangle{B} C$£ e £$A’ \stackrel \triangle{B’} C’$£ sono simili

Terzo criterio di similitudine dei triangoli

Due triangoli sono simili se hanno tre coppie di lati corrispondenti proporzionali.

Ipotesi

£$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{A’B’}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{B’C’}}=\dfrac{\overline{AC}}{\overline{A’C’}}$£

Tesi

£$A \stackrel \triangle{B} C$£ e £$A’ \stackrel \triangle{B’} C’$£ sono simili