Cilindri: definizione e calcolo di superficie e volume
Le forme geometriche, dalle più semplici alle più complesse, ci circondano e caratterizzano l’ambiente in cui viviamo. In questo articolo, ci concentreremo su una di queste forme: il cilindro. Il cilindro è una forma geometrica tridimensionale presente in molti oggetti di uso comune: pensate, ad esempio, ad una lattina di soda o ad un tubo di carta igienica oppure alle patatine!
In questo articolo affronteremo la teoria e la pratica dei cilindri. Cominceremo esaminando la definizione di un cilindro e poi passeremo a discutere le proprietà chiave che definiscono questa forma. Il calcolo della superficie e del volume di un cilindro è un argomento chiave nel campo della geometria e offre una serie di applicazioni pratiche. Che si tratti di calcolare la quantità di vernice necessaria per coprire un tubo o di determinare la capacità di un serbatoio cilindrico, queste formule si rivelano strumenti matematici utili anche nella vita di tutti i giorni!
- Che cos'è il cilindro
- Quali sono le sezioni del cilindro
- Come si calcola la superficie del cilindro
- Come si calcola il volume del cilindro
Che cos’è il cilindro
Abbiamo già visto come possiamo generare un cilindro circolare retto: basta far ruotare un rettangolo di un giro completo attorno a uno dei suoi lati. Questo lato rimane fisso!
Appoggiamo un cilindro su un tavolo in modo che non rotoli via: individuiamo le due basi. I cilindri hanno due basi proprio come i prismi.
Le basi del cilindro sono due cerchi, congruenti e paralleli. Formano il “pavimento” e il “tetto” del solido.
L’asse di rotazione è quella retta a cui appartiene il lato del rettangolo che rimane fisso durante la rotazione: si chiama anche asse del cilindro. L’asse è perpendicolare alle due basi e passa per il loro centro.
Il raggio del cilindro è il raggio delle basi: non dimenticare che le basi sono dei cerchi! Il raggio è congruente all’altro lato del rettangolo, quello che non rimane fisso, cioè quello che non forma l’asse del cilindro.
La distanza tra le due basi si chiama altezza del cilindro. L’altezza è perpendicolare alle basi ed è congruente al lato del rettangolo che rimane fisso.
Quali sono le sezioni del cilindro
Se affettiamo un cilindro con dei piani paralleli alle basi otteniamo delle sezioni circolari congruenti alle basi.
Se affettiamo un cilindro con un piano che contiene l’asse di rotazione otteniamo una sezione rettangolare! Questa sezione è un rettangolo di area doppia rispetto a quello che ha generato il cilindro: ha la stessa altezza, ma la base è il doppio e coincide con il diametro di base.
Se la sezione è quadrata, il cilindro si chiama equilatero. In un cilindro equilatero l’altezza è uguale al diametro delle basi.
Come si calcola la superficie del cilindro
Se apriamo una scatola di forma cilindrica otteniamo il suo sviluppo. Lo sviluppo del cilindro ha la stessa struttura di quello dei prismi. È composto da:
- due cerchi congruenti
- un rettangolo.
I due cerchi congruenti sono le basi. Sai già calcolare la loro area: ogni cerchio ha area £$ \pi\cdot\text{raggio}^2 $£. L’area di base del cilindro è
$$ A_b=\pi r^2 $$ $$ r=\sqrt{\dfrac{A_b}{\pi}} $$
Il rettangolo corrisponde alla superficie laterale del cilindro. Il rettangolo ha come lati:
- l’altezza del cilindro;
- la circonferenza delle basi.
Allora la superficie laterale del cilindro è £$ 2\pi \cdot\text{raggio}\cdot \text{altezza}$£.
$$ S_l=2\pi r h $$ $$ r=\dfrac{S_l}{2\pi h} $$ $$ h=\dfrac{S_l}{2\pi r} $$
La superficie totale del cilindro, come quella dei prismi, è data dalla somma delle superfici delle due basi e della superficie laterale. $$S_\text{tot}=2\cdot A_b+S_l=2\pi r^2+2\pi r h$$
Come si calcola il volume del cilindro
Ormai l’hai capito! Prismi e cilindri hanno molto in comune: sono tutti solidi a due basi. Possiamo trovare il volume del cilindro, come abbiamo fatto per i prismi: moltiplicando l’area di base per l’altezza.
$$V=A_b\cdot h=\pi r^2 h$$ $$ A_b=\dfrac{V}{h} $$ $$ r=\sqrt{\dfrac{V}{\pi h}} $$ $$ h=\dfrac{V}{A_b}=\dfrac{V}{\pi r^2} $$