Cilindri: superficie e volume

Com'è fatto un cilindro? Lo possiamo ottenere facendo ruotare un rettangolo di un giro completo attorno a uno dei suoi lati... Ha due basi proprio come un prisma! Le basi hanno forma circolare. Scopri come calcolare la superficie laterale, la superficie totale e il volume di un cilindro: questi solidi non avranno più segreti!

Scopri da cosa è composta e come di calcola la superficie di un cilindro. Ti servirà conoscere l'altezza e il raggio di base! Calcola anche il volume del cilindro: non è così diverso da ciò che hai già imparato per i prismi!

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Prerequisiti per imparare a calcolare superficie e volume dei cilindri

I prerequisiti per imparare a calcolare superficie e volume dei cilindri sono:

Che cos'è il cilindro

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Abbiamo già visto come possiamo generare un cilindro circolare retto: basta far ruotare un rettangolo di un giro completo attorno a uno dei suoi lati. Questo lato rimane fisso!

Appoggiamo un cilindro su un tavolo in modo che non rotoli via: individuiamo le due basi. I cilindri hanno due basi proprio come i prismi. Le basi del cilindro sono due cerchi, congruenti e paralleli. Formano il “pavimento” e il “tetto” del solido.

L’asse di rotazione è quella retta a cui appartiene il lato del rettangolo che rimane fisso durante la rotazione: si chiama anche asse del cilindro. L’asse è perpendicolare alle due basi e passa per il loro centro.

Il raggio del cilindro è il raggio delle basi: non dimenticare che le basi sono dei cerchi! Il raggio è congruente all'altro lato del rettangolo, quello che non rimane fisso, cioè quello che non forma l'asse del cilindro.

La distanza tra le due basi si chiama altezza del cilindro. L’altezza è perpendicolare alle basi ed è congruente al lato del rettangolo che rimane fisso.

Sezioni del cilindro

Se affettiamo un cilindro con dei piani paralleli alle basi otteniamo delle sezioni circolari congruenti alle basi.

Se affettiamo un cilindro con un piano che contiene l’asse di rotazione otteniamo una sezione rettangolare! Questa sezione è un rettangolo di area doppia rispetto a quello che ha generato il cilindro: ha la stessa altezza, ma la base è il doppio e coincide con il diametro di base.

Se la sezione è quadrata, il cilindro si chiama equilatero. In un cilindro equilatero l’altezza è uguale al diametro delle basi.

Sviluppo e superficie del cilindro

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Se apriamo una scatola di forma cilindrica otteniamo il suo sviluppo. Lo sviluppo del cilindro ha la stessa struttura di quello dei prismi. È composto da:

  • due cerchi congruenti
  • un rettangolo.

I due cerchi congruenti sono le basi. Sai già calcolare la loro area: ogni cerchio ha area £$ \pi\cdot\text{raggio}^2 $£. L'area di base del cilindro è

$$ A_b=\pi r^2 $$ $$ r=\sqrt{\dfrac{A_b}{\pi}} $$

Il rettangolo corrisponde alla superficie laterale del cilindro. Il rettangolo ha come lati:

  • l’altezza del cilindro;
  • la circonferenza delle basi.

Allora la superficie laterale del cilindro è £$ 2\pi \cdot\text{raggio}\cdot \text{altezza}$£.

$$ S_l=2\pi r h $$ $$ r=\dfrac{S_l}{2\pi h} $$ $$ h=\dfrac{S_l}{2\pi r} $$

La superficie totale del cilindro, come quella dei prismi, è data dalla somma delle superfici delle due basi e della superficie laterale. $$S_\text{tot}=2\cdot A_b+S_l=2\pi r^2+2\pi r h$$

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Volume del cilindro

Ormai l’hai capito! Prismi e cilindri hanno molto in comune: sono tutti solidi a due basi. Possiamo trovare il volume del cilindro, come abbiamo fatto per i prismi: moltiplicando l’area di base per l’altezza.

$$V=A_b\cdot h=\pi r^2 h$$ $$ A_b=\dfrac{V}{h} $$ $$ r=\sqrt{\dfrac{V}{\pi h}} $$ $$ h=\dfrac{V}{A_b}=\dfrac{V}{\pi r^2} $$

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

 

Esercizi svolti Cilindri: superficie e volume

Ecco gli esercizi su Cilindri: superficie e volume in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Geometria solida. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Geometria!

ESERCIZI SVOLTI DI CILINDRI - 1

Ripassa le proprietà del cilindro. Qual è l'asse di rotazione? E l'altezza? Quali sezioni otteniamo affettando il cilindro con piani paralleli o perpendicolari alle basi?

ESERCIZI SVOLTI DI CILINDRI - 2

Ricordi quali figure compongono lo sviluppo piano di un cilindro? Impara a calcolare la superficie laterale e la superficie totale di un cilindro. Mettiti alla prova con gli esercizi del secondo livello!

ESERCIZI SVOLTI DI CILINDRI - 3

Impara a calcolare il volume di un cilindro. Risolvi i problemi più difficili del secondo livello di esercizi. Chissà se riuscirai anche a far uscire un coniglio... Dal cilindro!

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