Coni: superficie e volume

Che cos'è il cono? Come la piramide, è un solido con una punta e una base: la base è un cerchio. Come misurare la superficie totale di un cono? E come calcolare il suo volume? Scoprilo con le nostre lezioni!

Scopri da cosa è composta e come di calcola la superficie di un cono. Ti servirà conoscere l'altezza, l'apotema e il raggio di base. Calcola anche il volume del cono: non è così diverso da ciò che hai già imparato per le piramidi!

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per imparare a calcolare superficie e volume dei coni

I prerequisiti per imparare a calcolare superficie e volume dei coni sono:

Che cos'è il cono

transparent placeholder

Per generare un cono circolare retto occorre far ruotare un triangolo rettangolo di un giro completo attorno a uno dei suoi cateti: questo è il cateto che rimane fisso nella rotazione.

Se posiamo un cono su un tavolo in modo che non rotoli via lo abbiamo sicuramente appoggiato sulla sua base. I coni hanno una base e una punta, il vertice, proprio come le piramidi.

La base del cono è un cerchio.

L’asse di rotazione è quella retta a cui appartiene il cateto del triangolo che rimane fisso durante la rotazione: si chiama anche asse del cono. L’asse passa per il vertice e per il centro della base ed è perpendicolare ad essa.

Il raggio del cono è il raggio della base. È congruente all'altro cateto del triangolo, quello che non rimane fisso, cioè quello che non forma l'asse del cono (o l'asse di rotazione).

La distanza tra la base e il vertice si chiama altezza del cono. L’altezza è congruente al cateto del triangolo che rimane fisso. L’altezza è perpendicolare alla base.

L’apotema del cono è congruente all’ipotenusa del triangolo che lo genera.

Sezioni del cono

Se affettiamo un cono con dei piani paralleli alla base otteniamo tutte sezioni circolari. Mentre ci avviciniamo al vertice, le sezioni diventano sempre più piccole.

Se affettiamo un cono con un piano che contiene l’asse di rotazione otteniamo una sezione triangolare! Questa sezione è un triangolo isoscele di area doppia rispetto a quello che ha generato il cono. La base del triangolo è il diametro di base del cono. L’altezza del triangolo è l’altezza del cono. Il lato obliquo è l’apotema del cono.

Se la sezione è un triangolo equilatero, il cono si chiama equilatero. In un cono equilatero l’apotema è uguale al diametro della base.

Sviluppo e superficie del cono

Se apriamo una scatola a forma di cono otteniamo il suo sviluppo. Lo sviluppo del cono è simile allo sviluppo delle piramidi. È composto da:

  • un cerchio;
  • un settore circolare.

Il cerchio è la base del cono e sai già come calcolare la sua area. L'area di base del cono è $$ A_b=\pi r^2 $$ $$ r=\sqrt{\dfrac{A_b}{\pi}} $$

Il settore circolare corrisponde alla superficie laterale del cono: ha come raggio l’apotema del cono; l’arco che lo delimita è congruente alla circonferenza della base. La superficie laterale del cono è £$ \dfrac{2\pi \cdot\text{raggio}\cdot \text{apotema}}2=\pi\cdot\text{raggio}\cdot\text{apotema}$£. $$ S_l=\pi r a $$ $$ r=\dfrac{S_l}{\pi a} $$ $$ a=\dfrac{S_l}{\pi r} $$

La superficie totale del cono, come quella delle piramidi, è uguale alla somma della superficie di base e della superficie laterale. $$S_\text{tot}=A_b+S_l=\pi r^2+\pi r a$$

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Volume del cono

Piramidi e coni hanno molto in comune: sono tutti solidi con una base e una punta.

Il volume del cono, come quello delle piramidi, si ottiene moltiplicando l’area di base per l’altezza e dividendo tutto per £$ 3 $£. $$V=\dfrac{A_b\cdot h}3=\dfrac{\pi r^2 h}3$$ $$ S_b=\dfrac{3V}{h} $$ $$ r=\sqrt{\dfrac{3V}{\pi h}} $$ $$ h=\dfrac{3V}{A_b}=\dfrac{3V}{\pi r^2} $$

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Esercizi svolti Coni: superficie e volume

Ecco gli esercizi su Coni: superficie e volume in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Geometria solida. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Geometria!

ESERCIZI SVOLTI DI CONI - 1

Riconosci raggio di base, altezza e apotema di un cono a partire dal triangolo generatore. Ripassa tutte le definizioni sul cono per affrontare gli esercizi più difficili.

ESERCIZI SVOLTI DI CONI - 2

Ora che sai tutto sul cono, puoi provare a risolvere i problemi di geometria sul cono. Impara a calcolare la superficie laterale, la superficie totale e il volume di un cono con gli esercizi del secondo livello.

ESERCIZI SVOLTI DI CONI - 3

Mettiti alla prova con gli esercizi più difficili sui coni. Calcola volume, superficie laterale e superficie totale dei coni e impara ad utilizzare anche le formule inverse, quando necessario.

Saldi con Carta del docente e 18App
Saldi con Carta del docente e 18App