Prismi: superficie e volume

Come calcolare la superficie di un prisma? Il prisma è un solido con due basi congruenti e parallele. Per trovare la superficie totale, quindi, dobbiamo sommare superficie laterale e il doppio dell'area di base. Scopri tutto quello che ti serve sapere: perimetro di base, altezza, area di base... Sono informazioni fondamentali! Come calcolare il volume? Scopri tutto quello che serve sapere sui prismi nelle nostre lezioni!

Come calcolare la superficie e il volume di un prisma?

Prima di tutto dobbiamo riconoscere che tipo di prisma abbiamo davanti: che forma ha la base? Si tratta di un prisma retto o obliquo? È un prisma regolare?

Quando abbiamo capito cosa abbiamo di fronte, possiamo procedere e calcolare la superficie del prisma. Un prisma è formato da due basi e da una parete laterale. Possiamo calcolare la superficie totale sommando questi elementi. Attenzione! Le facce laterali di un prisma retto sono dei rettangoli, quelle di un prisma obliquo invece sono dei parallelogrammi.

Come calcolare la superficie laterale? È il prodotto tra il perimetro di base e l'altezza del prisma, cioè la distanza tra le due basi.

Come facciamo a calcolare il volume di un prisma? La stanza in cui ti trovi è un prisma. Quante cose può contenere? Possiamo scoprirlo calcolando il suo volume, cioè moltiplicando l'area di base per l'altezza.

Esistono poi dei prismi particolari, più semplici di altri. Il cubo è un prisma con sei facce quadrate. Il parallelepipedo è un prisma in cui tutte le facce sono parallelogrammi; un parallelepipedo retto ha tutte le facce rettangolari. In questi casi è più semplice calcolare superficie e volume perché le facce sono tutte quadrilateri!

Scopri tutto sui prismi!

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Prerequisiti per imparare a calcolare superficie e volume dei prismi

I prerequisiti per imparare a calcolare superficie e volume dei prismi sono:

Prismi e sezioni di prismi

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I prismi sono solidi a due basi. Le due basi sono poligoni congruenti disposti su due piani paralleli. Le facce che formano la superficie laterale sono rettangoli se il prisma è retto, sono parallelogrammi se il prisma non è retto. Ci occuperemo principalmente di prismi retti.

Pensa alla stanza in cui ti trovi: non è forse un prisma? Il pavimento e il soffitto sono le basi del prisma, le pareti invece sono le facce laterali. L’ altezza del prisma corrisponde alla distanza tra le due basi. Se il prisma è retto è facile da trovare; se invece il prisma è obliquo, dobbiamo fare qualche calcolo in più e aiutarci con il teorema di Pitagora.

Torniamo a pensare un prisma come la stanza in cui ci troviamo. L’area di base di un prisma è la superficie del pavimento ed è equivalente alla superficie del soffitto. La superficie laterale è la somma delle aree di ciascuna parete. E il volume, sai cos’è? Immagina di riempire la stanza di acqua: quanta ce ne può stare?

Cosa succede invece se affettiamo un prisma retto? Se lo tagliamo con piani paralleli alle basi, le sezioni che otteniamo sono congruenti alle basi del prisma. Se invece lo tagliamo con piani perpendicolari alle basi, troviamo dei rettangoli.

Scopriamo insieme tecniche e formule per calcolare la superficie e il volume di un prisma e impariamo a riconoscere i prismi “più famosi”: parallelepipedo e cubo.

Superficie laterale e totale di un prisma

Proviamo ad aprire un prisma, come se fosse una scatola. Quello che otteniamo è il suo sviluppo piano, cioè l’insieme di tutte le sua facce: è formato dalle due basi e da un certo numero di rettangoli (il numero varia a seconda dei lati del poligono di base) che sono le pareti laterali.

Chiamiamo £$ A_b $£ l’area di base, £$ S_l $£ la superficie laterale e £$ S_{tot} $£ la superficie totale. L’area di base di un prisma dipende dal tipo di prisma che abbiamo di fronte: ripassa le aree dei poligoni!

La superficie laterale di un prisma è la somma delle aree di tutti i rettangoli che formano le sue pareti. Qual è l’area di ciascuno di questi rettangoli? È uguale al prodotto tra un lato del poligono e l’altezza del prisma. Tutta la superficie laterale, quindi, è uguale al prodotto del perimetro del poligono di base per l’altezza del prisma. La superficie laterale, infatti, è un grosso rettangolo che ha per base il perimetro della base del prisma e per altezza l’altezza del prisma.

$$ S_l = \text{perimetro di base} \cdot \text{altezza del prisma} $$

Esempio: un prisma esagonale regolare con lato di base £$ \ell $£ e altezza £$ h $£ ha per superficie laterale £$ S_l = 6 \cdot \ell \cdot h $£.

E come si trova la superficie totale? Basta sommare superficie laterale e area di base.
Attenzione! Ricorda che i prismi sono solidi a due basi, quindi per calcolare la superficie totale, dobbiamo sommare due volte l’area di base.

$$ S_{tot} = 2 A_b + S_l $$

Esempio: la superficie totale del nostro prisma esagonale regolare con lato di base £$ \ell $£ e altezza £$ h $£ è £$ S_{tot} = 2A_b + S_l $£.

Quale unità di misura utilizziamo per queste superfici? Anche se stiamo parlando delle superfici di un solido, siamo sempre di fronte a una superficie, cioè un’area. L’unità di misura che utilizziamo è il metro quadrato, cioè £$ \text{m}^2 $£, con tutti i suoi multipli e sottomultipli. Non c’è niente di nuovo da imparare! Fai attenzione e ricordati di elevare l’unità di misura del risultato al quadrato! ;-)

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Volume di un prisma

Hai bisogno di una scatola capiente, ma devi riuscire a farla stare nel ripiano del tuo armadio. Come puoi trovare la scatola più adatta? Ti serve sapere come calcolare il suo volume!

Il volume di un prisma indica qual è la sua capacità, cioè quanto può contenere. Per trovare il volume di un prisma qualsiasi di altezza £$ h $£, basta moltiplicare l’area di base del prisma per l’altezza.

$$ V = A_b \cdot h $$

Qual è l’unità di misura per i volumi? Stiamo moltiplicando una superficie (che misuriamo in £$ \text{m}^2 $£) per una lunghezza (l’altezza, che misuriamo in £$ \text{m} $£), quindi moltiplichiamo anche le unità di misura! Il volume si misura in metri cubi, cioè £$ \text{m}^3 $£.

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Il parallelepipedo

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Un prisma particolare è il parallelepipedo. Un parallelepipedo non è altro che un prisma che ha per basi due parallelogrammi!

Diciamo che un parallelepipedo è obliquo se è delimitato da sei parallelogrammi paralleli a due a due; un parallelepipedo è retto se le facce laterali sono rettangolari; un parallelepipedo è rettangolo se tutte le sue facce sono rettangoli.

È un prisma particolare perché è molto facile calcolare la sua superficie e il suo volume. Hai mai notato le misure che vengono specificate nelle descrizioni di scatole, o anche di elettrodomestici come lavatrici, frigoriferi, forni a microonde? Questo perché sono tutti parallelepipedi rettangoli! Tre misure sono sufficienti per capire lo spazio che occupano questi oggetti: larghezza £$(l )$£, altezza £$(h)$£, profondità £$(p)$£. Larghezza e profondità ci indicano le dimensioni della base, poi con l’altezza abbiamo un’idea chiara dello spazio che occupa.

La superficie di base è l’area del rettangolo di base, cioè £$ A_b = l \cdot p $£. La superficie laterale è uguale al perimetro di base per l’altezza, cioè £$ S_l = 2 \cdot (l + p) \cdot h $£. Per calcolare il volume, moltiplichiamo l’area di base per l’altezza: £$ V = A_b \cdot h $£ equivale a moltiplicare le tre dimensioni del parallelepipedo £$ V = l \cdot p \cdot h $£.

E come facciamo se il parallelepipedo è obliquo? Ci comportiamo come abbiamo fatto per i prismi obliqui: basta misurare la distanza tra le due basi per trovare l’altezza… Come facciamo? Ci possiamo aiutare con il teorema di Pitagora!

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Il cubo

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Che tipo di prisma abbiamo davanti se tutte le facce sono dei quadrati? Si tratta di un cubo! Un cubo è un poliedro regolare: si chiama esaedro. È un prisma con sei facce congruenti, tutte quadrate.

Calcolare la superficie di un cubo è un gioco da ragazzi! Basta conoscere il lato di base £$ \ell $£. La sua superficie laterale è formata da quattro quadrati, quindi è £$ S_l = 4 \cdot \ell^2 $£. La sua superficie totale è formata quindi da sei quadrati, la troviamo semplicemente £$ S_{tot} = 6 \cdot \ell^2 $£.

Come calcoliamo il volume di un cubo? Basta moltiplicare il lato di base per tre volte: £$ V = \ell^3 $£.

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Esercizi svolti Prismi: superficie e volume

Ecco gli esercizi su Prismi: superficie e volume in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Geometria solida. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Geometria!

ESERCIZI SVOLTI PRISMA - 1

Qual è l'altezza di un prisma? Come calcolare la sua superficie laterale? Ripassa tutte le definizioni per prepararti a fare gli esercizi sui prismi!

ESERCIZI SVOLTI PRISMA - 2

Risolvi i problemi con i prismi. Leggi con attenzione tutti i dati per rispondere alle domande. Individua anche i dati nascosti! Calcola superficie laterale e superficie totale dei prismi.

ESERCIZI SVOLTI PRISMA - 3

Mettiti alla prova con gli esercizi del terzo livello. Calcola il volume di un prisma rettangolare o di altri tipi di prisma! I solidi non avranno più segreti!

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