Angoli

Il termine angolo deriva dal latino angulus e dal greco ankylos che significa piegare, curvare. Scopri la definizione di angolo in geometria e scopri tutte le proprietà e le caratteristiche degli angoli. Come si misurano? Impara ad utilizzare il sistema sessagesimale.

Abbiamo scoperto gli elementi primitivi della geometria piana: il punto, la retta e il piano. Mettendo insieme due semirette con la stessa origine, riusciamo a delimitare una parte di piano, cioè un angolo.

Un angolo è ciascuna delle due parti di piano delimitate da due semirette con la stessa origine. Distinguiamo diversi tipi di angoli a seconda della loro misura. Ma come si misura un angolo? L’unità di misura che utilizziamo per gli angoli è il grado.

Impara a riconoscere un angolo convesso e un angolo concavo: basta prolungare i lati e vedere se cadono all’interno o all’esterno dell’angolo. Ripassa la definizione di angolo consecutivo e angolo adiacente e utilizzale per risolvere le operazioni con gli angoli.

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Prerequisiti per imparare gli angoli

I prerequisiti per imparare gli angoli sono:

Che cos'è un angolo?

Vediamo gli angoli tutti i giorni leggendo l’ora sull’orologio: le lancette sono i lati dell’angolo e il centro dell’orologio è il vertice. Ma che cosa sono gli angoli?

Un angolo è ciascuna delle due parti di piano comprese tra due semirette che hanno la stessa origine. Le due semirette sono i lati dell’angolo, l’origine comune, invece, è il vertice dell’angolo.

Misuriamo gli angoli utilizzando i gradi e li indichiamo con le lettere dell’alfabeto greco, come £$ \alpha, \beta, \gamma … $£. Oppure possiamo anche utilizzare tre punti: uno per ciascuna delle due semirette e uno per il vertice. Per esempio scriviamo £$ A\widehat{O}B $£ l’angolo che ha vertice in £$ O $£: la lettera centrale in questa scrittura deve sempre essere il vertice.

Furono i babilonesi a suddividere per primi i cerchi in £$ 360 $£ parti, ciascuna delle quali era un angolo che misura un grado. I babilonesi utilizzarono questa suddivisione perché pensavano che i giorni dell’anno fossero £$ 360 $£. Più avanti si scoprì che i giorni dell’anno sono £$ 365 $£, ma la suddivisione del cerchio in £$ 360 $£ parti rimase e continuò ad essere utilizzata per misurare gli angoli. È quello che chiamiamo sistema sessagesimale: £$ 1 $£ grado è la £$ 360 -$£esima parte di un cerchio, in ogni grado ci sono £$ 60 $£ primi e in ogni primo ci sono £$ 60 $£ secondi.

Come si misurano gli angoli?

Per misurare gli angoli utilizziamo uno strumento: il goniometro. Può essere di forma circolare (quindi è suddiviso in £$ 360 $£ parti uguali, cioè £$ 360^\circ $£), oppure semicircolare (suddiviso in £$ 180 $£ parti uguali, cioè £$ 180^\circ $£). Posizioniamo il centro del goniometro in corrispondenza del vertice dell’angolo in modo che lo £$ 0 $£ corrisponda al primo lato dell’angolo: guardiamo dove arriva il secondo lato per trovare la misura dell’angolo.

Per misurare gli angoli utilizziamo il sistema sessagesimale: un grado è la £$360-$£esima parte di un cerchio. Anche il grado ha i suoi sottomultipli: i primi e i secondi. In un grado ci sono £$ 60 $£ primi, in un primo ci sono £$ 60 $£ secondi. Non ti sembra di avere a che fare tutti i giorni con queste misure? Funzionano esattamente come i minuti e i secondi nelle misure di tempo! In un'ora abbiamo £$ 60 $£ minuti e in ogni minuto abbiamo £$ 60 $£ secondi, nello stesso modo:

£$ 1^\circ $£ si suddivide in £$ 60’ $£
£$ \quad 1’ $£ si suddivide in £$ 60’’ $£

Esempio: £$ \alpha = 49^\circ \ 20’ \ 15’’ \\ \beta = 89^\circ \ 59’ \ 60’’ = 89^\circ \ 60’ \ 00’’ = 90^\circ \ 00’ \ 00’’ $£

Angoli convessi e angoli concavi

Angolo convesso £$ \alpha $£

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Angolo concavo £$ \beta $£

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Abbiamo capito come si disegnano gli angoli. Ora possiamo iniziare a dare qualche altra definizione.

Un angolo è convesso se non contiene il prolungamento dei suoi lati. Per esempio l'angolo £$ \alpha $£ è un angolo convesso: se proviamo a prolungare i suoi lati, non sono all'interno dell'angolo.

L’angolo che contiene il prolungamento dei suoi lati, invece, è un angolo concavo. Per esempio l'angolo £$ \beta $£ è un angolo concavo: vediamo nell'immagine che il prolungamento dei suoi lati interseca l'angolo.

Solitamente sono convessi tutti gli angoli che misurano tra £$ 0^° $£ e £$ 180^° $£, sono concavi tutti gli angoli che misurano tra £$ 180^° $£ e £$ 360^° $£.

Angoli particolari

Identifichiamo gli angoli a partire da quanto misurano: ci sono però degli angoli che hanno un nome particolare perché hanno delle caratteristiche che li rendono unici.

L’angolo giro è l’angolo che misura £$ 360^° $£. Lo dividiamo a metà e troviamo l’angolo piatto che misura £$ 180^° $£. Se dividiamo l’angolo giro in quattro parti uguali, invece, troviamo l’angolo retto che misura £$ 90^° $£.

A partire dall’angolo retto possiamo riconoscere se un angolo è acuto o ottuso: un angolo ottuso è un angolo £$ \alpha $£ che ha misura £$ 90^° < \alpha < 180° $£; un angolo acuto, invece, è un angolo £$ \beta $£ che ha misura £$ 0 < \beta < 90^° $£. Gli angoli acuti e gli angoli ottusi sono tutti angoli convessi. In generali sono concavi gli angoli £$ \gamma $£ che hanno un’ampiezza £$ 180^° < \gamma < 360^° $£.

Confronto e somma di angoli

Possiamo confrontare due angoli per capire come variano le loro ampiezze. Ma come si fa? Come abbiamo già visto con i segmenti, per confrontare l’ampiezza di due angoli, dobbiamo sovrapporli facendo coincidere il vertice e un lato. Se anche l’altro lato coincide, i due angoli hanno la stessa ampiezza, quindi sono congruenti. Se il lato del secondo angolo cade all’interno del primo angolo, il secondo angolo sarà minore del primo; se invece il lato del secondo angolo cade all’esterno del primo angolo, il secondo angolo sarà maggiore del primo. Se due angoli hanno ampiezze diverse è maggiore l’angolo con ampiezza maggiore!

Dopo aver confrontato le ampiezze di due angoli, proviamo a sommarli. Per sommare due angoli, dobbiamo prima disegnarli in modo che siano consecutivi: hanno il vertice e un lato in comune; gli altri due lati sono da parti opposte rispetto al lato comune. L’ampiezza dell’angolo somma è uguale alla somma delle ampiezze dei due angoli.

Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i due lati non comuni appartengono alla stessa retta.

Due angoli sono opposti al vertice quando i lati di uno sono il prolungamento dei lati dell’altro: i quattro angoli che si creano sono congruenti a due a due.

Angoli complementari, supplementari, esplementari

Angoli complementari

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Angoli supplementari

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Angoli esplementari

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Quando la somma di due angoli dà un risultato particolare, questi due angoli possono essere:

  • se la somma di due angoli è £$ 90^° $£, i due angoli sono complementari;
  • se la somma è £$ 180^° $£, i due angoli sono supplementari;
  • se la somma di due angoli è £$ 360^° $£, i due angoli sono esplementari.

Anche se non sappiamo la misura dei due angoli, il fatto che siano complementari, supplementari o esplementari, ci dà già un’informazione sulla loro somma. Questo può esserci utile per risolvere il problema!

Operazioni con gli angoli

Per sommare due angoli dobbiamo spostarli in modo che diventino consecutivi, cioè in modo che abbiano il vertice e un lato in comune. L’angolo che otteniamo in questo modo è la somma dei due angoli. Se la somma di due angoli consecutivi è £$ 180^° $£, allora i due angoli sono adiacenti.

Per sottrarre due angoli di ampiezza diversa, dobbiamo sovrapporli in modo che abbiano un vertice e un lato in comune. L’angolo che si ottiene è la differenza tra i due angoli. Se i due angoli invece sono congruenti, la loro differenza sarà un angolo nullo.

È possibile trovare il doppio di un angolo? O il triplo? Certo! Possiamo trovare tutti i multipli di un angolo: basta sommare a quell’angolo un altro uguale o due uguali! Otteniamo i multipli di un angolo addizionando ad un angolo la sua stessa ampiezza un numero fissato di volte. Ma esistono anche i sottomultipli di un angolo: si ottengono suddividendo l’angolo in angoli congruenti. In che modo? Per esempio con la bisettrice di un angolo: è quella semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti, cioè esattamente a metà. Ciascuna di queste due parti, quindi è un sottomultiplo dell’angolo di partenza.

Esercizi svolti angoli

Ecco gli esercizi sugli angoli in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Geometria piana. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Geometria!

ESERCIZI ANGOLI - 1

Allenati a riconoscere gli angoli particolari. Ricordati la misura di un angolo retto, piatto o giro. Ripassa la definizione di angolo e di bisettrice di un angolo.

ESERCIZI ANGOLI - 2

Ripassa il sistema sessagesimale: un grado è uguale a £$ 60' $£ e un primo è uguale a £$ 60'' $£. Fai attenzione con le operazioni con gli angoli! Riconosci gli angoli concavi e le coppie di angoli esplementari.

ESERCIZI ANGOLI - 3

Osserva gli angoli sulla rosa dei venti e impara a scoprire gli angoli nella realtà che ci circonda. Mettiti alla prova con i problemi e calcola somme, sottrazioni, multipli e sottomultipli di angoli.

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