Segmenti e figure nel piano cartesiano

Con la geometria piana abbiamo imparato diverse definizioni su punti, rette e parti di rette. Anche sul piano cartesiano possiamo disegnare segmenti e poligoni.

L’unica differenza consiste nel fatto che possiamo individuare figure e segmenti attraverso le coordinate dei loro estremi e rette attraverso la loro equazione. Scopri la geometria del piano cartesiano!

Appunti

Il piano cartesiano non è altro che un piano su cui è fissato un sistema di riferimento. Cosa significa? Possiamo individuare con sicurezza dove si trova un qualsiasi oggetto geometrico che abbiamo disegnato.

Unendo due punti troviamo un segmento. Per calcolare la lunghezza di un segmento, non serve più usare un righello: possiamo sfruttare le coordinate degli estremi! La lunghezza di un segmento orizzontale corrisponde alla “distanza” tra le due prime coordinate dei due estremi. Stessa cosa vale per i segmenti verticali: la lunghezza corrisponde alla “distanza” tra le due seconde coordinate dei due estremi. E se invece il segmento è obliquo, quindi né verticale né orizzontale? Possiamo aiutarci con il teorema di Pitagora!

Usando più segmenti possiamo costruire delle figure geometriche anche sul piano cartesiano: scopri quanto è semplice calcolare perimetri e aree! Ricorda di ripassare il teorema di Pitagora per non arrivare impreparato.

Impara tutto quello che c’è da sapere per disegnare le figure nel piano cartesiano!

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Prerequisiti per imparare segmenti e figure nel piano cartesiano

I prerequisiti per imparare segmenti e figure nel piano cartesiano sono:

Segmenti nel piano cartesiano

Segmenti orizzontali e verticali

Teorema Pitagora sul piano cartesiano

Il piano cartesiano è un normalissimo piano, solo che ha un sistema di riferimento tale per cui riusciamo a individuare la posizione dei punti e delle figure disegnate sul piano.

Abbiamo già parlato delle coordinate dei punti: sono due numeri. 

  • Il primo indica la posizione lungo l’asse £$ x $£ (o asse delle ascisse)
  • il secondo indica la posizione lungo l’asse £$ y $£ (o asse delle ordinate).

Congiungendo due punti qualsiasi £$ A(x_A; y_A) $£ e £$ B(x_B; y_B) $£ sul piano cartesiano troviamo un segmento £$ AB $£. Come facciamo a calcolare la lunghezza di un segmento nel piano cartesiano?

  • Se i due estremi hanno la stessa ascissa, si tratta di un segmento verticale: possiamo calcolare la sua lunghezza con una semplice differenza tra le ordinate. Se £$ y_B > y_A $£, troviamo che il segmento ha lunghezza £$ \overline{AB} = y_B - y_A $£, altrimenti viceversa.
  • Se i due estremi hanno la stessa ordinata, si tratta di un segmento orizzontale: possiamo calcolare la sua lunghezza con una semplice differenza tra le ascisse. Se £$ x_B > x_A $£, troviamo che il segmento ha lunghezza £$ \overline{AB} = x_B - x_A $£, altrimenti viceversa.

E come facciamo se siamo di fronte ad un segmento che non è né verticale né orizzontale? Qui viene in nostro aiuto il teorema di Pitagora.

Possiamo costruire sul piano cartesiano un triangolo rettangolo avente come ipotenusa il segmento £$ AB $£. Quanto misurano i due cateti? Costruiamo il cateto orizzontale che misura £$ x_B - x_A $£ e il cateto verticale che misura £$ y_B - y_A $£. Applichiamo quindi il teorema di Pitagora e troviamo la lunghezza del segmento £$ AB $£:

$$ \overline{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$

Poligoni nel piano cartesiano

Sul piano cartesiano possiamo disegnare punti, segmenti e anche poligoni: basta congiungere più segmenti a formare una linea spezzata chiusa.

Possiamo calcolare il perimetro e l’area di un poligono sul piano cartesiano:

  • Per trovare il perimetro, dobbiamo calcolare le lunghezze di tutti i segmenti e sommarle.
  • Per calcolare l’area, possiamo aiutarci costruendo sul piano cartesiano delle figure di cui conosciamo l’area, e poi trovare le aree della figura che stiamo cercando.

Abbiamo imparato che i segmenti di cui è più facile trovare la lunghezza sono quelli orizzontali e verticali. Per calcolare l’area di una figura strana sul piano cartesiano, troviamo il rettangolo che la racchiude e arriviamo all’area finale sottraendo le aree dei triangoli o delle altre figure che riusciamo a riconoscere.