Segmenti, rette e figure nel piano cartesiano

Con la geometria piana abbiamo imparato diverse definizioni su punti, rette e parti di rette. Anche sul piano cartesiano possiamo disegnare segmenti, poligoni e rette. L’unica differenza consiste nel fatto che possiamo individuare figure e segmenti attraverso le coordinate dei loro estremi e rette attraverso la loro equazione. Scopri la geometria del piano cartesiano!

Il piano cartesiano non è altro che un piano su cui è fissato un sistema di riferimento. Cosa significa? Possiamo individuare con sicurezza dove si trova un qualsiasi oggetto geometrico che abbiamo disegnato.

Unendo due punti troviamo un segmento. Per calcolare la lunghezza di un segmento, non serve più usare un righello: possiamo sfruttare le coordinate degli estremi! La lunghezza di un segmento orizzontale corrisponde alla “distanza” tra le due prime coordinate dei due estremi. Stessa cosa vale per i segmenti verticali: la lunghezza corrisponde alla “distanza” tra le due seconde coordinate dei due estremi. E se invece il segmento è obliquo, quindi né verticale né orizzontale? Possiamo aiutarci con il teorema di Pitagora!

Usando più segmenti possiamo costruire delle figure geometriche anche sul piano cartesiano: scopri quanto è semplice calcolare perimetri e aree! Ricorda di ripassare il teorema di Pitagora per non arrivare impreparato.

Come facciamo a individuare le rette su piano cartesiano? Tutte le rette sul piano cartesiano hanno una loro equazione unica: rappresenta la relazione che esiste tra le coordinate £$ x $£ e £$ y $£ di tutti i punti che formano la retta.

Impara tutto quello che c’è da sapere per disegnare le figure nel piano cartesiano!

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Prerequisiti per imparare segmenti, rette e figure nel piano cartesiano

I prerequisiti per imparare segmenti, rette e figure nel piano cartesiano sono:

Segmenti nel piano cartesiano

Segmenti orizzontali e verticali

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Th Pitagora sul piano cartesiano

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Il piano cartesiano è un normalissimo piano, solo che ha un sistema di riferimento tale per cui riusciamo a individuare la posizione dei punti e delle figure disegnate sul piano.

Abbiamo già parlato delle coordinate dei punti: due numeri, il primo indica la posizione lungo l’asse £$ x $£ (o asse delle ascisse), il secondo indica la posizione lungo l’asse £$ y $£ (o asse delle ordinate).

Congiungendo due punti qualsiasi £$ A(x_A; y_A) $£ e £$ B(x_B; y_B) $£ sul piano cartesiano troviamo un segmento £$ AB $£. Come facciamo a calcolare la lunghezza di un segmento nel piano cartesiano?

  • Se i due estremi hanno la stesso ascissa, si tratta di un segmento verticale: possiamo calcolare la sua lunghezza con una semplice differenza tra le ordinate. Se £$ y_B > y_A $£, troviamo che il segmento ha lunghezza £$ \overline{AB} = y_B - y_A $£, altrimenti viceversa.
  • Se i due estremi hanno la stessa ordinata, si tratta di un segmento orizzontale: possiamo calcolare la sua lunghezza con una semplice differenza tra le ascisse. Se £$ x_B > x_A $£, troviamo che il segmento ha lunghezza £$ \overline{AB} = x_B - x_A $£, altrimenti viceversa.

E come facciamo se siamo di fronte ad un segmento che non è né verticale né orizzontale? Qui viene in nostro aiuto il teorema di Pitagora. Possiamo costruire sul piano cartesiano un triangolo rettangolo avente come ipotenusa il segmento £$ AB $£. Quanto misurano i due cateti? Costruiamo il cateto orizzontale che misura £$ x_B - x_A $£ e il cateto verticale che misura £$ y_B - y_A $£. Applichiamo quindi il teorema di Pitagora e troviamo la lunghezza del segmento £$ AB $£:

$$ \overline{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} $$

Poligoni nel piano cartesiano

Sul piano cartesiano possiamo disegnare punti, segmenti e anche poligoni: basta congiungere più segmenti a formare una linea spezzata chiusa.

Possiamo calcolare il perimetro e l’area di un poligono sul piano cartesiano, come abbiamo già imparato a fare. Per trovare il perimetro, dobbiamo calcolare le lunghezze di tutti i segmenti e sommarle. Per calcolare l’area, possiamo aiutarci costruendo sul piano cartesiano delle figure di cui conosciamo l’area, e poi trovare le aree della figura che stiamo cercando.

Abbiamo imparato che i segmenti di cui è più facile trovare la lunghezza sono quelli orizzontali e verticali. Per calcolare l’area di una figura strana sul piano cartesiano, troviamo il rettangolo che la racchiude e arriviamo all’area finale sottraendo le aree dei triangoli o delle altre figure che riusciamo a riconoscere.

Rette nel piano cartesiano

Rette orizzontali

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Rette verticali

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Rette per l'origine

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Oltre a punti, segmenti e poligoni, possiamo rappresentare sul piano cartesiano anche le rette.

Individuiamo i punti con le coordinate, i segmenti con le coordinate degli estremi e i poligoni con le coordinate di tutti i vertici. Come si individuano le rette sul piano cartesiano? Serve un’equazione!

Le rette orizzontali rappresentano tutti i punti con la stessa ordinata, quindi hanno equazione £$ y = k $£ con £$ k $£ numero qualsiasi (intero o razionale). Le rette orizzontali sono tutte parallele all’asse £$ x $£ che rappresenta tutti i punti con ordinata uguale a £$ 0 $£: è la retta che passa per l’origine e ha equazione £$ y = 0 $£.

Le rette verticali rappresentano tutti i punti con la stessa ascissa, quindi hanno equazione £$ x = k $£ con £$ k $£ numero qualsiasi (intero o razionale). Le rette verticali sono tutte parallele all’asse £$ y $£ che rappresenta tutti i punti con ascissa uguale a £$ 0 $£: è la retta che passa per l’origine e ha equazione £$ x = 0 $£.

Le rette rappresentano una relazione particolare tra due numeri: lo scopriremo studiando la proporzionalità diretta! La retta che rappresenta tutti i multipli di £$ 2 $£, quindi tutti i punti di coordinate £$ (x_P; 2x_P) $£, è la retta passante per l’origine con equazione £$ y = 2x $£.

Esercizi svolti piano cartesiano

Ecco gli esercizi su segmenti, rette e figure nel piano cartesiano in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Piano cartesiano. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Geometria!

ESERCIZI SEGMENTI, RETTE E FIGURE NEL PIANO CARTESIANO - 1

Impara a riconoscere le coordinate dei punti sul piano cartesiano. Scopri come costruire le figure e calcola la lunghezza di segmenti orizzontali e verticali.

ESERCIZI SEGMENTI, RETTE E FIGURE NEL PIANO CARTESIANO - 2

Riconosci i punti che appartengono ad una stessa retta e scrivi la sua equazione. Calcola la lunghezza di un segmento. Impara a trovare il punto medio di un segmento.

ESERCIZI SEGMENTI, RETTE E FIGURE NEL PIANO CARTESIANO - 3

Scopri quali sono le equazioni di rette orizzontali e verticali. Impara a calcolare la lunghezza di tutti i segmenti sul piano cartesiano. Prova a calcolare l'area di una figura sul piano cartesiano.

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