Poligoni e simmetria assiale

Prova a risolvere questo problema di geometria analitica per prepararti all'esame di terza media. Ripassa tutti gli argomenti e rispondi a tutte le domande. Segui il procedimento... Allenarsi è il modo migliore per raggiungere i risultati!

Per risolvere questo quesito dell'esame di terza media, devi ripassare questi argomenti:

  • come trovare le coordinate dei punti sul piano cartesiano
  • come calcolare la lunghezza dei segmenti sul piano cartesiano
  • come calcolare il perimetro e l'area di un rettangolo
  • le proprietà dei poligoni regolari
  • come calcolare la lunghezza di una circonferenza
  • come calcolare l'area di un cerchio
  • come disegnare una retta conoscendo la sua equazione, o come trovare l'equazione di una retta specifica
  • come trovare il punto di intersezione tra due rette
  • come trovare la figura simmetrica rispetto ad una retta

Preparati al meglio per affrontare la prova di matematica dell'esame di terza media.

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Argomenti da ripassare

Testo del problema

a) In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico £$(1 \text{ u} = 1 \text{ cm}) $£ individua i punti di coordinate:

$$ A(+2;+1) \ \ B (+14; +1) \ \ C (+14; +6) \ \ D ( +2; +6) $$

b) Congiungi i punti nell’ordine dato e scrivi il nome del poligono £$F$£ ottenuto.

c) Calcola la misura dei lati.

d) Calcola la misura del perimetro e l’area del poligono £$ F$£.

e) Calcola la misura della diagonale del poligono £$F$£.

f) Rappresenta il poligono £$F'$£ di vertici £$ A'B'C'D' $£ simmetrico di £$F$£ rispetto all’asse delle ascisse. Scrivi le coordinate dei vertici della figura £$ F' $£. Scrivi le equazioni di simmetria o spiega come cambiano le coordinate dei vertici del poligono simmetrico £$F'$£ rispetto a quelle del poligono di partenza £$F$£.

g) Congiungi i punti £$D$£ con £$D'$£ e £$C'$£ con £$C$£. Considera ora il poligono £$ D'C'CD $£ ed indicalo con £$Q$£. Di quale poligono si tratta?

h) Disegna la circonferenza inscritta nel poligono £$Q$£ e scrivi le coordinate del centro £$P$£.

i) Calcola la lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio.

j) Spiega perché si può inscrivere una circonferenza nel poligono £$Q$£.

k) Disegna la retta £$t$£ di equazione £$ y = +3x $£. Quale relazione osservi tra la retta £$t$£ e il poligono £$Q$£?

l) Disegna e scrivi l’equazione della retta £$ r$£ passante per il lato £$ D'C' $£.

m) Scrivi le coordinate di £$ N $£ punto d’intersezione tra la retta £$t$£ e la retta £$r$£.

Soluzione ai punti a) e b)

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Rappresentiamo il piano cartesiano in modo che l'unità di misura corrisponda ad £$ 1 \text{ cm} $£.

a) In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico £$(1 \text{ u} = 1 \text{ cm}) $£ individua i punti di coordinate:

$$ A(+2;+1) \ \ B (+14; +1) \ \ C (+14; +6) \ \ D ( +2; +6) $$

Cerchiamo tutti i punti richiesti. Ricorda: un punto del piano cartesiano si rappresenta con due coordinate. La prima coordinata indica l'ascissa, cioè indica di quante unità dobbiamo spostarci a destra (se è un numero positivo) o a sinistra (se è un numero negativo) a partire dall'origine £$ O $£. La seconda coordinata indica l'ordinata, cioè di quante unità dobbiamo spostarci verso l'alto (se è un numero positivo) o verso il basso (se è un numero negativo) a partire dall'origine £$ O $£. Per esempio, per trovare £$ A $£ dobbiamo spostarci a destra di due unità e in alto di una unità.

b) Congiungi i punti nell’ordine dato e scrivi il nome del poligono £$F$£ ottenuto.

Congiungendo i quattro punti otteniamo un rettangolo.

Soluzione ai punti c), d) ed e)

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c) Calcola la misura dei lati.

Il rettangolo £$ F $£ ha i lati uguali e paralleli a due a due. Essendo segmenti orizzontali e verticali, è facile trovare la loro misura sul piano cartesiano. Basta fare una semplice differenza:

$$ \overline{AB} = \overline{DC} = 14 \text{ u} - 2 \text{ u} = 12 \text{ u} = 12 \text{ cm} $$

$$ \overline{AD} = \overline{BC} = 6 \text{ u} - 1 \text{ u} = 5 \text{ u} = 5 \text{ cm} $$

d) Calcola la misura del perimetro e l’area del poligono £$ F$£.

Possiamo quindi trovare facilmente il perimetro del rettangolo:

$$ \text{perimetro} = 2 \cdot (12 \text{ cm} + 5 \text{ cm}) = 2 \cdot 17 \text{ cm} = 34 \text{ cm} $$

Mentre l'area misura:

$$ \text{Area} = 12 \text{ cm} \cdot 5 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2 $$

e) Calcola la misura della diagonale del poligono £$F$£.

Per trovare la misura della diagonale dobbiamo servirci del teorema di Pitagora: la diagonale, infatti, corrisponde all'ipotenusa del triangolo rettangolo che ha per cateti la base e l'altezza del rettangolo.

$$ \overline{AC} = \sqrt{(12 \text{ cm})^2 + (5 \text{ cm})^2} = \sqrt{144 \text{ cm}^2 + 25 \text{ cm}^2} = \\ = \sqrt{169 \text{ cm}^2} = 13 \text{ cm} $$

Soluzione al punto f)

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f) Rappresenta il poligono £$F'$£ di vertici £$ A'B'C'D' $£ simmetrico di £$F$£ rispetto all’asse delle ascisse.

Per rappresentare questo poligono, immaginiamo di piegare il piano cartesiano lungo l'asse £$ x $£ e ricalchiamo la forma nel IV quadrante, come vedi nella figura.

Scrivi le coordinate dei vertici della figura £$ F' $£.

Il nuovo rettangolo £$ F' $£ ha per vertici £$ A'B'C'D' $£ che hanno la stessa ascissa dei punti £$ ABCD $£, ma ordinata opposta:

$$ A'(+2; -1) \ \ B'(+14; -1) \ \ C'(+14; -6) \ \ D'(+2; -6) $$

Scrivi le equazioni di simmetria o spiega come cambiano le coordinate dei vertici del poligono simmetrico £$F'$£ rispetto a quelle del poligono di partenza £$F$£.

Come abbiamo già detto, le coordinate dei vertici del poligono simmetrico £$ F' $£ cambiano solo nell'ordinata. L'ascissa resta invariata. Quindi le equazioni di simmetria sono:

$$ \begin{cases} x' = x \\ y' = -y \end{cases} $$

Soluzione al punto g)

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g) Congiungi i punti £$D$£ con £$D'$£ e £$C'$£ con £$C$£. Considera ora il poligono £$ D'C'CD $£ ed indicalo con £$Q$£. Di quale poligono si tratta?

Sicuramente il poligono £$ Q $£ è ancora un parallelogramma: ha i lati uguali e paralleli a due a due. Ma di che parallelogramma si tratta?

Sappiamo che £$ \overline{DC}= \overline{D'C'} = 12 \text{ cm} $£, troviamo la lunghezza degli altri due lati:

$$ \overline{DD'} = \overline{CC'} = 6 \text{ u} - ( -6 \text{ u}) = 12 \text{ u} = 12 \text{ cm} $$

È un poligono con quattro lati congruenti! Il poligono £$ Q $£ è un quadrato!

Soluzione al punto k), l) e m)

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k) Disegna la retta £$t$£ di equazione £$ y = +3x $£. Quale relazione osservi tra la retta £$t$£ e il poligono £$Q$£?

Come vediamo dal disegno, la retta £$ t $£ interseca il poligono £$ Q $£ nel punto £$ D $£. In altre parole, possiamo dire che il punto £$ D $£ appartiene alla retta £$ t $£.

l) Disegna e scrivi l’equazione della retta £$ r$£ passante per il lato £$ D'C' $£.

La retta che passa per il lato £$ D'C' $£ è una retta orizzontale, quindi è formata da tutti i punti che hanno ordinata uguale a £$ -6 $£. L'equazione della retta £$ r $£ è £$ y = -6$£.

m) Scrivi le coordinate di £$ N $£ punto d’intersezione tra la retta £$t$£ e la retta £$r$£.

Per trovare le coordinate del punto di intersezione tra le due rette £$ t $£ e £$ r $£ non dobbiamo andare a occhio! Si tratta di risolvere un sistema di due equazioni. Lo imparerai presto:

$$ \begin{cases} y = +3x \\ y = -6 \end{cases} $$

Non è niente di difficile: il sistema si traduce in una semplice equazione! Sostituiamo il valore di £$ y $£ indicato dalla retta £$ r $£ nell'equazione della retta £$ t $£ e ricaviamo la £$ x $£:

$$ y = +3x \\ -6 = +3x \\ x = -2 $$

Quindi il punto di intersezione ha coordinate £$ N(-2; -6) $£.

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