Teorema di Pitagora e quadrato

Il triangolo rettangolo isoscele è uno dei due triangoli che si ottengono tracciando una diagonale del quadrato. Scopri le importanti proprietà di questo triangolo e le proprietà del quadrato! Derivano tutte dal teorema di Pitagora!

Tracciando una diagonale del quadrato, lo dividiamo perfettamente a metà. Ciascuna delle due metà è un triangolo rettangolo particolare: come mai? Il quadrato è un quadrilatero con quattro lati tutti uguali e quattro angoli retti, quindi è un poligono regolare. Dividendolo a metà con una diagonale otteniamo un triangolo che ha i due cateti congruenti: un triangolo rettangolo isoscele!

A partire da un quadrato con il lato che misura una unità, applicando il teorema di Pitagora per calcolare la misura della diagonale, si scoprì un numero molto famoso: £$ \sqrt 2 $£. Questo numero mise in crisi i matematici di quel tempo! Infatti i pitagorici volevano esprimere la natura attraverso il numero o il rapporto tra numeri: è impossibile trovare un numero intero il cui quadrato sia uguale a £$ 2 $£!

Scopri di più sulle proprietà del quadrato e della £$ \sqrt 2 $£.

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Prerequisiti per imparare le proprietà del quadrato

I prerequisiti per imparare le proprietà del quadrato sono:

Triangolo rettangolo isoscele

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Il quadrato è un poligono regolare, con quattro angoli retti. Se tracciamo una diagonale del quadrato, lo dividiamo in due triangoli rettangoli. Come sono questi triangoli?

La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli, cioè due triangoli rettangoli che hanno i due cateti congruenti. I cateti di questi triangoli, infatti, sono uguali al lato del quadrato, quindi sono congruenti! La diagonale del quadrato è anche bisettrice degli angoli: gli angoli adiacenti all’ipotenusa del triangolo rettangolo isoscele sono congruenti e misurano 45°.

Il triangolo rettangolo isoscele, quindi, ha due angoli di 45° e un angolo di 90°. Il triangolo rettangolo isoscele è la metà di un quadrato! Come la squadretta che utilizzi per il disegno tecnico! La più piccola è un triangolo rettangolo con due angoli da 45°.

La radice quadrata di 2: £$\sqrt 2 $£

Prendiamo un quadrato con lato di £$ 1 \text{ cm} $£. Tracciamo la sua diagonale. Quanto misura?

Abbiamo appena imparato che la diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli. Quindi applichiamo il teorema di Pitagora per trovare la sua misura. La diagonale del quadrato corrisponde all’ipotenusa dei triangoli, quindi per trovare la sua misura dobbiamo sommare i quadrati dei due cateti di £$ 1 \text{ cm} $£ e calcolare la radice quadrata del risultato:

$$ \text{diagonale} = \sqrt{1^2\text{ cm}^2+ 1^2\text{ cm}^2} = \sqrt{2 \text{ cm}^2} = \sqrt 2 \text{ cm} $$

La diagonale di un quadrato con il lato di £$ 1 \text{ cm} $£ misura £$ \sqrt 2 \text{ cm} $£.

Grazie a questa applicazione del teorema di Pitagora, abbiamo scoperto questo “strano” numero: £$ \sqrt 2 $£ è la misura dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con cateti unitari, o meglio ancora è la misura della diagonale di un quadrato con il lato unitario. Il calcolo che abbiamo fatto, a noi non sembra così sconvolgente, ma in verità questa scoperta ha messo in crisi la matematica greca. I pitagorici cercavano di scrivere tutto sotto forma di numero intero, o di rapporto tra numeri interi. Non è così facile trovare un numero il cui quadrato sia uguale a £$ \sqrt 2 $£ e nemmeno due numeri il cui rapporto dia come risultato £$ \sqrt 2 $£. Si tratta infatti di un numero irrazionale!

Le proprietà del quadrato

Grazie al teorema di Pitagora, abbiamo potuto scoprire e studiare un numero molto particolare: £$ \sqrt 2 $£. Abbiamo potuto scoprire la relazione tra un lato di un quadrato e la sua diagonale.

In un quadrato di lato £$ \ell $£:

  • la diagonale è uguale alla lunghezza del lato moltiplicata per £$ \sqrt 2 $£, cioè £$ d = \ell \cdot \sqrt 2 $£;
  • il lato è uguale alla lunghezza della diagonale divisa per £$ \sqrt 2 $£, cioè £$ \ell = \frac{d}{\sqrt 2} $£

Quando ci troviamo davanti ad un quadrato, quindi, possiamo ricordarci di queste proprietà senza dover applicare il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza della diagonale!

Esercizi svolti teorema di Pitagora e quadrato

Ecco gli esercizi su teorema di Pitagora e quadrato in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Teorema di Pitagora. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Geometria!

ESERCIZI TEOREMA DI PITAGORA E QUADRATO - 1

Ripassa quanto vale £$ \sqrt 2 $£ e scopri perché questo numero è importante per risolvere problemi con il quadrato. Impara a trovare la misura della diagonale e del lato del quadrato con semplici calcoli!

ESERCIZI TEOREMA DI PITAGORA E QUADRATO - 2

Ripassa le proprietà del triangolo rettangolo isoscele. Ricordi le relazioni tra il lato e la diagonale di un quadrato? Sfrutta queste proprietà per risolvere i problemi di geometria senza disturbare il teorema di Pitagora.

ESERCIZI TEOREMA DI PITAGORA E QUADRATO - 3

Mettiti alla prova con i problemi più difficili. Calcola perimetri e aree di figure complesse utilizzando le interessanti proprietà del triangolo rettangolo isoscele, e quindi del quadrato!

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