Terne pitagoriche e inverso del teorema di Pitagora

Le terne pitagoriche sono numeri che rispettano il teorema di Pitagora, cioè indicano la misura dei tre lati di un triangolo rettangolo. Scopri l’inverso del teorema di Pitagora e impara come trovare i cateti o l’ipotenusa di un triangolo rettangolo.

Gli egizi sono stati capaci di costruire delle opere architettoniche di altissimo livello: le piramidi. Ma come hanno fatto a realizzare edifici così perfetti?

Anche loro hanno utilizzato il teorema di Pitagora! O meglio, le terne pitagoriche. Attraverso dei nodi su una corda, distanziati tutti allo stesso modo, riuscirono a costruire degli angoli retti che permisero loro di realizzare tutti le loro magnifiche costruzioni con notevole precisione.

Esiste anche l’inverso del teorema di Pitagora! Questo teorema, infatti, non serve solo per calcolare la lunghezza dell’ipotenusa sapendo quelle dei due cateti, ma può essere utilizzato anche all’inverso: possiamo trovare un cateto conoscendo l’altro cateto e l’ipotenusa. Impara ad utilizzare il teorema di Pitagora e il suo inverso!

Il teorema di Pitagora non vale solo se costruiamo dei quadrati sul nostro triangolo rettangolo, ma anche se costruiamo altri poligoni regolari: per esempio il pentagono costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei due pentagoni costruiti sui due cateti. E funziona anche con gli altri poligoni regolari che abbiamo studiato!

Scopri tutto quello che c’è ancora da sapere sul teorema di Pitagora!

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Prerequisiti per imparare le terne pitagoriche e l'inverso del teorema di Pitagora

I prerequisiti per imparare le terne pitagoriche e l'inverso del teorema di Pitagora sono:

Come costruire angoli retti?

Le moderne ditte di costruzioni utilizzano i mezzi più tecnologici per realizzare linee dritte e angoli retti, in modo che gli edifici siano stabili e anche semplici da costruire.

Ma nell’antichità non era così banale costruire basamenti quadrati per le costruzioni. Come facevano per esempio gli egizi a realizzare le piramidi senza nessuno strumento particolare? Bastava una corda con dei nodi posizionati alla giusta distanza l’uno dall’altro.

Un triangolo con i lati in rapporto £$ 3:4:5 $£ ha per forza un angolo retto. Prova a disegnarlo! Gli Egizi sfruttarono questa proprietà per costruire le piramidi.

Le terne pitagoriche

Per il teorema di Pitagora vale anche l’inverso. L’inverso del teorema di Pitagora dice:

Se riusciamo a costruire un triangolo con i lati di misura £$ a , b $£ e £$ c $£ (numeri naturali) tali per cui vale la relazione £$ a^2 + b^2 = c^2 $£, allora il triangolo è rettangolo.

Tutte le terne di numeri fatte in questo modo sono le terne pitagoriche. Le terne pitagoriche sono numeri naturali per cui riusciamo a scrivere la relazione che abbiamo appena visto. Il £$ 3 $£, il £$ 4 $£ e il £$ 5 $£ formano una terna pitagorica: infatti £$ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 $£. Di conseguenza formano una terna pitagorica anche gli stessi multipli di questi tre numeri! Per esempio, proviamo a moltiplicarli tutti per £$ 2 $£: £$ (3 \cdot 2)^2 + (4 \cdot 2)^2 = 36 + 64 = 100 = (5 \cdot 2)^2 $£

Per questo motivo gli Egiziani riuscivano a costruire angoli retti semplicemente utilizzando una corda con dei nodi: facendo i nodi tutti alla stessa distanza, riuscivano a costruire un triangolo i cui lati formavano una terna pitagorica. Ed ecco applicato l’inverso del teorema di Pitagora: erano riusciti a trovare un triangolo rettangolo!

Conosci altre terne pitagoriche? Prova a trovarle! Conoscerne il più possibile, ti aiuterà a velocizzare gli esercizi. ;-)

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Come utilizzare il teorema di Pitagora?

Il teorema di Pitagora ci permette di trovare la misura di tutti i lati di un triangolo rettangolo. Il quadrato costruito sull’ipotenusa £$ (i) $£ è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti £$ (c_1 $£ e £$ c_2) $£.

$$ i^2 = c_1^2 + c_2^2 $$

Possiamo ricavare la stessa relazione anche per i due cateti:

$$ c_1^2 = i^2 - c_2^2 $$ $$ c_2^2 = i^2 - c_1^2 $$

Basta fare attenzione al lato che dobbiamo calcolare: l’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei due cateti, mentre ciascuno dei due cateti è uguale alla differenza tra il quadrato dell’ipotenusa e il quadrato dell’altro cateto.

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Per trovare la misura di ciascun lato, ci basta estrarre la radice quadrata ad entrambi i membri della nostra equazione. Se prendiamo un triangolo rettangolo £$ \stackrel{\triangle}{ABC}$£ come quello in figura, ricaviamo tutte le relazioni:

£$ \overline{AB} = \sqrt{\overline{BC}^2 - \overline{AC}^2} \\ \overline{AC} = \sqrt{\overline{BC}^2 - \overline{AB}^2} \\ \overline{BC} = \sqrt{\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2} $£

Basta ricordarsi la formula dell’enunciato per ricavare tutte le altre. Estraendo la radice quadrata, troviamo la misura di ciascun lato del triangolo. Ora sei pronto per affrontare gli esercizi sul teorema di Pitagora!

Teorema di Pitagora e poligoni regolari

Teorema di Pitagora con i triangoli equilateri

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Teorema di Pitagora con gli esagoni regolari

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Il teorema di Pitagora funziona anche con altre figure! Se al posto di costruire i quadrati sui cateti e sull’ipotenusa, costruiamo altri poligoni regolari, otteniamo lo stesso risultato.

Prendiamo il nostro triangolo rettangolo con lati di £$ 3 \text{ cm} $£, £$ 4 \text{ cm} $£ e £$ 5 \text{ cm} $£.

Proviamo a disegnare un triangolo equilatero sull’ipotenusa e due triangoli equilateri sui due cateti del triangolo rettangolo. Facendo qualche calcolo, puoi dimostrare che la somma delle aree dei due triangoli equilateri costruiti sui cateti è uguale all’area del triangolo costruito sull’ipotenusa. Mettiti alla prova!

Proviamo poi con un esagono: l’area dell’esagono regolare con lato uguale all’ipotenusa del triangolo rettangolo è uguale alla somma delle aree degli esagoni regolari con lato uguale al cateto minore e al cateto maggiore del triangolo rettangolo. Ti ricordi come si calcola l’area di un esagono? Dobbiamo moltiplicare il perimetro per l’apotema. Ma come facciamo a trovare l’apotema? Possiamo utilizzare di nuovo il teorema di Pitagora: possiamo dividere l’esagono in sei triangolini equilateri. Scegliamone uno: l’apotema è l’altezza di questo triangolo equilatero, e lo divide in due triangoli rettangoli su cui possiamo applicare il teorema di Pitagora. Una volta trovata l’altezza, fai qualche conto e verifica che il teorema di Pitagora vale anche in questo caso: l’area dell’esagono costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei due esagoni costruiti sui cateti del triangolo rettangolo di partenza.

Sorpreso? Controlla tu stesso e scoprirai che vale anche con tutti gli altri poligoni regolari!

Esercizi svolti terne pitagoriche e inverso del teorema di Pitagora

Ecco gli esercizi su terne pitagoriche e inverso del teorema di Pitagora in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Teorema di Pitagora. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Geometria!

ESERCIZI TERNE PITAGORICHE E TEOREMA INVERSO - 1

Impara a riconoscere le terne pitagoriche. Ripassa il teorema di Pitagora e il suo inverso. Riconosci a quali problemi applicarli!

ESERCIZI TERNE PITAGORICHE E TEOREMA INVERSO - 2

Impara ad utilizzare il teorema di Pitagora anche con altre figure: rombi, trapezi... Riconosci i triangoli rettangoli! Sapendo le misure dei lati, puoi capire che tipo di triangolo devi disegnare.

ESERCIZI TERNE PITAGORICHE E TEOREMA INVERSO - 3

Risolvi i problemi più difficili applicando l'inverso del teorema di Pitagora. Ricorda tutte le formule per calcolare aree e perimetri. Possono sempre essere utili per trovare tutti i dati necessari!

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