Teorema di Pitagora e triangolo 30°, 60°, 90°

Il triangolo 30°, 60°, 90° è un triangolo rettangolo particolare. Lo otteniamo tracciando l’altezza relativa a uno dei lati di un triangolo equilatero. Scopri tutte le interessanti proprietà di questo particolare triangolo rettangolo!

Appunti

Tracciando l’altezza relativa a uno dei tre lati di un triangolo equilatero, riusciamo a dividerlo in due triangoli rettangoli che hanno caratteristiche particolari. Oltre all’angolo retto hanno un angolo da £$ 30^\circ $£ e uno da £$ 60^\circ $£. Uno dei due cateti è lungo quanto metà dell’ipotenusa. E quanto misura l’altro? Applicando il teorema di Pitagora, compare un altro numero irrazionale nei nostri calcoli: £$ \sqrt 3 $£.

Scopri tutte le interessanti proprietà del triangolo £$ 30^\circ $£, £$ 60^\circ $£, £$ 90^\circ $£.

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Prerequisiti per imparare le proprietà dei triangoli 30°, 60°, 90°

I prerequisiti per imparare le proprietà dei triangoli 30°, 60°, 90° sono:

Il triangolo 30°, 60°, 90°

Prendiamo un triangolo equilatero: si tratta di un poligono regolare, con tutti i lati e tutti gli angoli uguali. Se tracciamo l’altezza relativa ad uno dei tre lati, dividiamo il triangolo in due triangoli rettangoli. Infatti l’altezza è il segmento perpendicolare che congiunge il vertice al lato opposto. Ma come sono fatti questi due triangoli?

Sappiamo che in un triangolo equilatero, le altezze, le mediane e le bisettrici relative a ciascun lato, coincidono! Allora quello che otteniamo è un triangolo un po’ particolare:

  • l’altezza che tracciamo è anche bisettrice, quindi divide a metà l’angolo al vertice;
  • l’altezza che tracciamo è anche mediana, quindi divide a metà il lato opposto;
  • l’altezza, per le sue proprietà, è perpendicolare al lato opposto al vertice da cui parte.
Visto che il triangolo equilatero ha tre angoli uguali, cioè di £$ 60^\circ $£, grazie alle proprietà che abbiamo appena elencato, tracciando un’altezza ricaviamo un triangolo rettangolo che:
  • oltre all’angolo retto, ha un angolo di £$ 60^\circ $£ e un angolo di £$ 30^\circ $£;
  • ha il cateto minore lungo come la metà dell’ipotenusa.
Tagliando a metà un triangolo equilatero otteniamo un triangolo £$ 30^\circ $£, £$ 60^\circ $£, £$ 90^\circ $£! Come la squadretta che utilizzi per il disegno tecnico: è un triangolo rettangolo con un angolo da £$ 30^\circ $£ e uno da £$ 60^\circ $£.

La radice quadrata di 3: £$ \sqrt 3 $£

Proviamo ad applicare il teorema di Pitagora alla metà di un triangolo equilatero con i lati da £$ 2 \text{ cm} $£. Sappiamo quindi che l’ipotenusa £$ ( i ) $£ del triangolo da £$ 30^\circ $£, £$ 60^\circ $£, £$ 90^\circ $£ che otteniamo è uguale al lato del triangolo di partenza, quindi misura £$ 2 \text{ cm} $£, mentre il cateto minore £$ (c ) $£ è uguale alla metà del lato (perché l’altezza £$ (h ) $£ che abbiamo tracciato è anche una mediana), quindi misura £$ 1 \text{ cm} $£.

Quanto misura l’altro cateto, cioè l’altezza del triangolo equilatero? Utilizziamo il teorema di Pitagora:

$$ h = \sqrt{i^2 - c^2} = \sqrt{2^2 \text{ cm}^2 - 1^2 \text{ cm}^2} = \\ = \sqrt{3 \text{ cm}^2} = \sqrt 3 \text{ cm} $$

L’altezza di un triangolo equilatero con il lato di £$ 2 \text{ cm} $£ misura £$ \sqrt 3 \text{ cm} $£. Grazie a questa applicazione del teorema di Pitagora, abbiamo scoperto un altro numero irrazionale: £$ \sqrt 3 $£ è la misura del cateto maggiore di un triangolo rettangolo con angoli di £$ 30^\circ $£, £$ 60^\circ $£, £$ 90^\circ $£, o, meglio ancora, è la misura dell’altezza di un triangolo equilatero con lato che misura due unità.

Le proprietà del triangolo equilatero

Grazie al teorema di Pitagora, abbiamo potuto scoprire la relazione tra il lato e l’altezza di un triangolo equilatero.

Per tutti i triangoli rettangoli che sono la metà di un triangolo equilatero, quindi per tutti i triangoli rettangoli con un angolo di £$ 30^\circ $£ e un angolo di £$ 60^\circ $£ sappiamo che:

  • l’ipotenusa è il doppio del cateto minore: £$ i = 2 \cdot c $£;
  • il cateto maggiore è £$ \sqrt 3 $£ volte il cateto minore: £$ C = \sqrt 3 c $£.
Di conseguenza sappiamo che, in tutti i triangoli equilateri di lato £$ \ell $£, l’altezza è £$ \frac{\sqrt 3}{2} $£ volte il lato: £$ h = \frac{\sqrt 3}{2} \ell $£.

Conoscendo l’altezza, possiamo risalire alla misura del lato del triangolo equilatero sfruttando la relazione inversa: £$ \ell = \frac{2}{\sqrt 3}h $£.

Grazie a questi trucchi, non sarà più necessario applicare il teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo con angoli di £$ 30^\circ $£ e di £$ 60^\circ $£: basta ricordarsi della radice di £$ 3 $£!