Criteri di similitudine dei triangoli: come riconoscere i triangoli simili

Triangoli simili: come riconoscerli? Quali sono i criteri di similitudine? Non tutti i triangoli sono uguali, cioè congruenti, ma alcuni sono simili. Scopri quando con i tre criteri di similitudine.

Appunti

Sapevi che oltre ai triangoli congruenti esistono anche i triangoli simili? Hai già studiato la definizione di triangolo e conosci i punti notevoli e i tre criteri di congruenza, ma sappi che non bastano angoli corrispondenti congruenti per avere due triangoli congruenti. È il caso dei triangoli simili, quelli che hanno gli angoli corrispondenti congruenti e i lati proporzionali.

Hai capito la definizione di triangoli simili, ma ti stai chiedendo cosa voglia dire nella pratica? Carta, matita e lente di ingrandimento ti verranno in aiuto! Disegna una figura su un foglio. Ora guardala con la lente di ingrandimento: vedrai la stessa figura, ma più grande. Se invece ripeti l'operazione con un cannocchiale girato al contrario, la vedrai più piccola. Adesso hai capito cosa sono due triangoli simili?

Non preoccuparti: per riconoscerli non dovrai ogni volta usare la lente o il cannocchiale! Ci sono dei trucchi che ti semplificheranno il lavoro, i tre criteri di similitudine. Imparali tutti e non confonderli con i criteri di congruenza!

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Prerequisiti per imparare i criteri di similitudine

I prerequisiti per imparare i criteri di similitudine sono:

Triangoli simili

Che cosa vuol dire che due triangoli sono simili? Due triangoli sono simili se hanno la stessa forma!

Disegna un triangolo e guardalo attraverso un cannocchiale: l'immagine ingrandita è ancora un triangolo, un po' più grande ma con la stessa forma di quello che hai disegnato: un triangolo simile! E se giri il cannocchiale... Vedrai ancora un triangolo simile a quello di partenza, ma più piccolo.

 


Le figure rappresentano coppie di triangoli simili (quelli degli stessi colori) e coppie di triangoli non simili. Studiando le similitudini abbiamo visto che due poligoni sono simili se:

  • hanno angoli corrispondenti congruenti;
  • il rapporto tra lati corrispondenti è lo stesso (i lati sono proporzionali).

Il rapporto tra le lunghezze di lati corrispondenti di due poligoni simili è il rapporto di similitudine, £$ k $£. È lo stesso rapporto che esiste tra i loro perimetri! Il rapporto tra le loro aree è il quadrato del rapporto di similitudine, £$ k^2 $£. Due triangoli i cui lati non sono tutti nello stesso rapporto di similitudine, non sono simili.

Queste proprietà valgono anche per i triangoli, che sono poligoni con tre lati e tre angoli. In due triangoli simili, anche le altezze relative a lati corrispondenti sono proporzionali! Ma esiste un modo semplice e veloce per dire se due triangoli sono simili? Certo che sì! Anzi ne esistono ben 3: i tre criteri di similitudine dei triangoli.

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Primo criterio di similitudine

Il primo criterio di similitudine dice che due triangoli sono simili se hanno due coppie di angoli corrispondenti congruenti.

Ipotesi

£$ \hat{A}\cong\hat{A’} $£
£$ \hat{B}\cong\hat{B’} $£

Tesi

£$ \stackrel{\triangle}{ABC}$£ e £$\stackrel{\triangle}{A’B’C’} $£ sono simili.

Non abbiamo bisogno di conoscere il rapporto tra le misure dei lati corrispondenti per dire se due triangoli sono simili: basta conoscere la misura dei loro angoli

Ricordi la relazione tra le misure degli angoli interni di un triangolo? Sappiamo che per ogni triangolo la somma degli angoli interni è uguale a un angolo piatto. Questo fatto è molto utile: se conosciamo la misura di due angoli di un triangolo, con una semplice differenza possiamo conoscere anche la misura del terzo angolo!

Ma quindi se due triangoli hanno due angoli corrispondenti congruenti anche il terzo angolo dovrà essere congruente! In particolare:

  • due triangoli equilateri sono sempre simili (ogni triangolo equilatero ha tutti gli angoli di £$ 60^\circ $£);
  • due triangoli rettangoli con un angolo acuto congruente sono simili;
  • due triangoli isosceli con angoli al vertice congruenti sono simili.

Secondo criterio di similitudine

Il secondo criterio di similitudine dice che due triangoli sono simili se hanno:

  • due coppie di lati corrispondenti proporzionali;
  • angoli compresi congruenti.

Ipotesi

£$ \hat{B}\cong\hat{B’} $£
£$ \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A’B’}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{B’C’}} $£

Tesi

£$ \stackrel{\triangle}{ABC}$£ e £$\stackrel{\triangle}{A’B’C’} $£ sono simili.

Questo criterio ti ricorda qualcosa? Assomiglia molto al primo criterio di congruenza dei triangoli. Questa volta però le due coppie di lati sono proporzionali invece che congruenti e i triangoli sono simili!

In particolare:

  • due triangoli rettangoli con i cateti proporzionali sono simili;
  • due triangoli isosceli con gli angoli al vertice congruenti sono simili.

Terzo criterio di similitudine

Il terzo criterio di similitudine dice che due triangoli sono simili se hanno tre coppie di lati corrispondenti proporzionali.

Ipotesi

£$ \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A’B’}}=\dfrac{\overline{BC}}{\overline{B’C’}}=\dfrac{\overline{CA}}{\overline{C’A’}} $£

Tesi

£$ \stackrel{\triangle}{ABC}$£ e £$\stackrel{\triangle}{A’B’C’}$£ sono simili.

In particolare due triangoli equilateri sono sempre simili (un triangolo equilatero ha tutti i lati congruenti).