Prerequisiti per imparare i punti notevoli dei triangoli
I prerequisiti per imparare i punti notevoli dei triangoli sono:
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Punti notevoli e proprietà di un triangolo
Hai mai sentito parlare di altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo? Impara a disegnarli! Quanti ce ne sono per ogni triangolo?
Scopri che cosa sono i punti notevoli dei triangoli: ortocentro, baricentro, incentro e circocentro. Come individuare i punti notevoli in un triangolo? E quali sono le loro proprietà? Nei triangoli isosceli e nei triangoli equilateri, queste proprietà sono sorprendenti!
Appunti
Che cos'è l'altezza di un triangolo? Come si disegna? Ce n'è una sola o più d'una? Ecco le risposte a tutte queste domande e a molte altre. In questa lezione parliamo anche di mediane, bisettrici e assi di un triangolo e impariamo come disegnarle in un triangolo qualsiasi.
Infine, scopriamo le proprietà dei punti notevoli di un triangolo e vediamo quali inaspettate caratteristiche si verificano nei triangoli isosceli e in quelli equilateri.
Contenuti di questa lezione su: Punti notevoli e proprietà di un triangolo
Altezze e ortocentro
Per disegnare una delle altezze di un triangolo, partiamo da un vertice e tracciamo il segmento perpendicolare al lato opposto.
Diciamo che £$ CH $£ è l’altezza relativa al lato £$ AB $£.
Possiamo disegnare un’altezza da ognuno dei tre vertici di un triangolo. Quindi ogni triangolo ha tre altezze! Le altezze possono essere interne o esterne al triangolo. Per esempio un triangolo ottusangolo ha due altezze esterne.
Le tre altezze di un triangolo, o i loro prolungamenti, si incontrano sempre in un unico punto chiamato ortocentro.
- In un triangolo acutangolo le altezze sono tutte interne; anche l’ortocentro è interno.
- In un triangolo rettangolo le altezze relative ai cateti sono proprio i cateti. L’altezza relativa all’ipotenusa è interna al triangolo. L’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto.
- In un triangolo ottusangolo due altezze sono esterne e una è interna. L’ortocentro è esterno al triangolo.
Mediane e baricentro
Il baricentro è il punto di equilibrio
Cos'è la mediana di un triangolo
La mediana di un triangolo rettangolo
La parola mediana significa “che sta in mezzo”. Per disegnare una mediana di un triangolo, partiamo da un vertice e tracciamo il segmento che congiunge il vertice con il punto medio del lato opposto.
Nella figura, £$ M $£ è il punto medio del lato £$ AB $£. Diciamo che £$ CM $£ è la mediana relativa al lato £$ AB $£.
Possiamo disegnare una mediana da ognuno dei tre vertici di un triangolo. Quindi ogni triangolo ha tre mediane!
Le mediane sono sempre interne al triangolo.
Ecco una proprietà particolare dei triangoli rettangoli:
In un triangolo rettangolo la mediana relativa all’ipotenusa la divide in due parti uguali. Ognuna di queste due parti è congruente alla mediana.
Le tre mediane di un triangolo si incontrano sempre in un unico punto chiamato baricentro. In ogni triangolo il baricentro è interno. Il baricentro è un punto particolare: divide ogni mediana in due parti che sono una il doppio dell’altra.
In fisica, il baricentro è, sotto l’azione della gravità, il centro di massa. Il baricentro di un oggetto è il punto in cui possiamo immaginare concentrata tutta la sua massa. Un modo per determinare il baricentro di un oggetto è… appenderlo al muro.
Bisettrici e incentro
Ogni triangolo ha tre angoli interni, quindi ha tre bisettrici, una per ciascun angolo.
Nella figura, la semiretta di origine £$ C $£ che passa per £$ H $£ è la bisettrice dell’angolo £$ A\hat{C}B $£.
Le tre bisettrici di un triangolo si incontrano sempre in un unico punto chiamato incentro.
In ogni triangolo l’incentro è interno.
L’incentro ha una interessante proprietà: è equidistante dai tre lati del triangolo. Infatti l'incentro è il centro della circonferenza inscritta in un triangolo.
£$ \overline{IK} =\overline{IJ}=\overline{IH} $£
Incentro nel triangolo acutangolo
Incentro nel triangolo rettangolo
Incentro nel triangolo ottusangolo
Assi e circocentro
Gli assi di un triangolo sono gli assi dei lati del triangolo.
Nella figura, £$ H $£ è il punto medio del lato £$ AB $£ e la retta passante per £$ H $£ e perpendicolare al lato, è l’asse di £$ AB $£.
Possiamo disegnare un asse per ognuno dei tre lati di un triangolo. Quindi ogni triangolo ha tre assi!
I tre assi di un triangolo si incontrano sempre in un unico punto chiamato circocentro.
- In un triangolo acutangolo il circocentro è interno.
- In un triangolo rettangolo il circocentro coincide con il punto medio dell’ipotenusa.
- In un triangolo ottusangolo l’ortocentro è esterno al triangolo.
Il circocentro ha una interessante proprietà: è equidistante dai tre vertici del triangolo. Infatti il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
Circocentro nel triangolo acutangolo
Circocentro nel triangolo rettangolo
Circocentro nel triangolo ottusangolo
Casi particolari: il triangolo isoscele e il triangolo equilatero
I punti notevoli di un triangolo isoscele e di un triangolo equilatero hanno proprietà sorprendenti!
In un triangolo isoscele l’altezza, la mediana, la bisettrice e l’asse relative alla base coincidono!
Non vale lo stesso per le altezze, le mediane, le bisettrici e le assi relative ai lati obliqui: queste NON coincidono.
I punti notevoli di un triangolo isoscele appartengono tutti alla stessa retta, cioè ortocentro, baricentro, incentro e circocentro sono punti di una stessa retta, che è l’asse relativo alla base.
In un triangolo equilatero l’altezza, la mediana, la bisettrice e l’asse relativa a ciascun lato coincidono! Basta tracciare uno di questi elementi notevoli per individuare tutti gli altri.
Tutti i punti notevoli di un triangolo equilatero, quindi, coincidono! Ortocentro, baricentro, incentro e circocentro sono lo stesso punto!
