Teoremi di Euclide

Primo e secondo teorema di Euclide: di cosa parlano? I teoremi di Euclide riguardano i triangoli rettangoli e le relazioni esistenti tra l'altezza relativa all'ipotenusa, i cateti e le loro proiezioni sull'ipotenusa. Scoprili in questa lezione!

Appunti

Anche i teoremi di Euclide parlano dei triangoli rettangoli. Con il teorema di Pitagora hai imparato le relazioni tra i due cateti e l’ipotenusa. Che ne dici ora di far entrare in gioco anche l’altezza relativa all’ipotenusa?

I due teoremi di Euclide mettono in relazione altezza, cateti e proiezioni di questi ultimi sull’ipotenusa. Non ti spaventare! È sempre questione di quadrati, rettangoli e ... proporzioni!

Scopri il primo e il secondo teorema di Euclide e diventa un esperto dei triangoli rettangoli!

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Prerequisiti per imparare i teoremi di Euclide

I prerequisiti per imparare i teoremi di Euclide sono:

I triangoli rettangoli e i teoremi di Euclide

£$ CH $£ altezza relativa all'ipotenusa

Caratteristiche dei tre triangoli

I teoremi di Euclide, così come il teorema di Pitagora, parlano di triangoli rettangoli.

Tracciamo l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ retto in £$ C $£. L'ipotenusa è il lato £$ AB $£ e l'altezza relativa all'ipotenusa è £$ CH $£. Il punto £$ H $£ divide l'ipotenusa in due parti:

  • £$ AH $£ è la proiezione del cateto £$ AC $£ sull'ipotenusa;
  • £$ HB $£ è la proiezione del cateto £$ CB $£ sull'ipotenusa.

Quanti triangoli rettangoli riesci a vedere nella figura così tracciata? Ben 3! Il primo triangolo è £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£. L'altezza £$ CH $£ divide questo triangolo in altri due triangoli rettangoli. Gli angoli retti hanno vertice in £$ H $£. Il triangolo £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£ ha come ipotenusa £$ AC $£ e come cateti £$ CH $£ e £$ AH $£. Il triangolo £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£ ha come ipotenusa £$ BC $£ e come cateti £$ CH $£ e £$ BH $£.

I triangoli rettangoli £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£, £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£ hanno sempre due angoli congruenti, quello retto e un altro angolo, quindi sono simili!

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Primo teorema di Euclide

Abbiamo visto che, tracciando l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ retto in £$ C $£, otteniamo due nuovi triangoli rettangoli simili a quello di partenza, £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£.

Se confrontiamo i due triangoli £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£, il rapporto tra le ipotenuse è uguale al rapporto tra i cateti minori. Se confrontiamo i due triangoli £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£, il rapporto tra le ipotenuse è uguale al rapporto tra i cateti maggiori. Triangoli simili hanno lati corrispondenti in proporzione. Allora possiamo rappresentare queste relazioni utilizzando proprio le proporzioni:

  • £$ AB : AC = AC : AH $£;
  • £$ AB : BC = BC : BH $£.

Ricordi come si chiama l'elemento che in una proporzione occupa entrambe le posizioni dei medi? È il medio proporzionale!

Possiamo enunciare allora il primo teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa.

Ma ecco un'interpretazione geometrica interessante di questo teorema... Ricordi la proprietà fondamentale delle proporzioni? Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Quindi possiamo riscrivere le due proporzioni nel modo seguente:

  • £$ AC^2=AB\cdot AH $£;
  • £$ BC^2=AB\cdot BH $£.

£$ AC^2 $£ è l'area del quadrato costruito sul lato £$ AC $£ e £$ AB\cdot AH $£ è l'area di un rettangolo di lati £$ AB $£ e £$ AH$£. £$ BC^2 $£ è l'area del quadrato costruito sul lato £$ BC $£ e £$ AB\cdot BH $£ è l'area di un rettangolo di lati £$ AB $£ e £$ BH$£.

Possiamo riscrivere il primo teorema di Euclide così:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa.

Secondo teorema di Euclide

Confrontiamo ora i due triangoli £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£. Anch'essi sono simili! Quindi, il rapporto tra i cateti minori è uguale al rapporto tra i cateti maggiori. Possiamo rappresentare questa relazione utilizzando le proporzioni: £$ AH : CH = CH : BH $£. Questa volta è l'altezza £$ CH $£ ad essere medio proporzionale.

Possiamo enunciare allora il secondo teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Anche in questo caso possiamo trovare un’interessante interpretazione geometrica riscrivendo la proporzione in questo modo: £$ CH^2=AH\cdot BH $£.

£$ CH^2 $£ è l'area del quadrato costruito sull'altezza £$ CH $£ e £$ AH\cdot BH $£ è l'area di un rettangolo di lati £$ AH $£ e £$ BH$£.

Possiamo riscrivere il secondo teorema di Euclide così:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha come lati le proiezioni del cateti sull'ipotenusa.