Teoremi di Euclide

Primo e secondo teorema di Euclide: di cosa parlano? I teoremi di Euclide riguardano i triangoli rettangoli e le relazioni esistenti tra l'altezza relativa all'ipotenusa, i cateti e le loro proiezioni sull'ipotenusa. Scoprili in questa lezione!

Anche i teoremi di Euclide parlano dei triangoli rettangoli. Con il teorema di Pitagora hai imparato le relazioni tra i due cateti e l’ipotenusa. Che ne dici ora di far entrare in gioco anche l’altezza relativa all’ipotenusa?

I due teoremi di Euclide mettono in relazione altezza, cateti e proiezioni di questi ultimi sull’ipotenusa. Non ti spaventare! È sempre questione di quadrati, rettangoli e ... proporzioni!

Scopri il primo e il secondo teorema di Euclide e diventa un esperto dei triangoli rettangoli!

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Prerequisiti per imparare i teoremi di Euclide

I prerequisiti per imparare i teoremi di Euclide sono:

I triangoli rettangoli e i teoremi di Euclide

£$ CH $£ altezza relativa all'ipotenusa

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Caratteristiche dei tre triangoli

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I teoremi di Euclide, così come il teorema di Pitagora, parlano di triangoli rettangoli.

Tracciamo l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ retto in £$ C $£. L'ipotenusa è il lato £$ AB $£ e l'altezza relativa all'ipotenusa è £$ CH $£. Il punto £$ H $£ divide l'ipotenusa in due parti:

  • £$ AH $£ è la proiezione del cateto £$ AC $£ sull'ipotenusa;
  • £$ HB $£ è la proiezione del cateto £$ CB $£ sull'ipotenusa.

Quanti triangoli rettangoli riesci a vedere nella figura così tracciata? Ben 3! Il primo triangolo è £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£. L'altezza £$ CH $£ divide questo triangolo in altri due triangoli rettangoli. Gli angoli retti hanno vertice in £$ H $£. Il triangolo £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£ ha come ipotenusa £$ AC $£ e come cateti £$ CH $£ e £$ AH $£. Il triangolo £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£ ha come ipotenusa £$ BC $£ e come cateti £$ CH $£ e £$ BH $£.

I triangoli rettangoli £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£, £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£ hanno sempre due angoli congruenti, quello retto e un altro angolo, quindi sono simili!

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Primo teorema di Euclide

Abbiamo visto che, tracciando l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ retto in £$ C $£, otteniamo due nuovi triangoli rettangoli simili a quello di partenza, £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£.

Se confrontiamo i due triangoli £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£, il rapporto tra le ipotenuse è uguale al rapporto tra i cateti minori. Se confrontiamo i due triangoli £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£, il rapporto tra le ipotenuse è uguale al rapporto tra i cateti maggiori. Triangoli simili hanno lati corrispondenti in proporzione. Allora possiamo rappresentare queste relazioni utilizzando proprio le proporzioni:

  • £$ AB : AC = AC : AH $£;
  • £$ AB : BC = BC : BH $£.

Ricordi come si chiama l'elemento che in una proporzione occupa entrambe le posizioni dei medi? È il medio proporzionale!

Possiamo enunciare allora il primo teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa.

Ma ecco un'interpretazione geometrica interessante di questo teorema... Ricordi la proprietà fondamentale delle proporzioni? Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Quindi possiamo riscrivere le due proporzioni nel modo seguente:

  • £$ AC^2=AB\cdot AH $£;
  • £$ BC^2=AB\cdot BH $£.

£$ AC^2 $£ è l'area del quadrato costruito sul lato £$ AC $£ e £$ AB\cdot AH $£ è l'area di un rettangolo di lati £$ AB $£ e £$ AH$£. £$ BC^2 $£ è l'area del quadrato costruito sul lato £$ BC $£ e £$ AB\cdot BH $£ è l'area di un rettangolo di lati £$ AB $£ e £$ BH$£.

Possiamo riscrivere il primo teorema di Euclide così:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa.

Secondo teorema di Euclide

Confrontiamo ora i due triangoli £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£. Anch'essi sono simili! Quindi, il rapporto tra i cateti minori è uguale al rapporto tra i cateti maggiori. Possiamo rappresentare questa relazione utilizzando le proporzioni: £$ AH : CH = CH : BH $£. Questa volta è l'altezza £$ CH $£ ad essere medio proporzionale.

Possiamo enunciare allora il secondo teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Anche in questo caso possiamo trovare un’interessante interpretazione geometrica riscrivendo la proporzione in questo modo: £$ CH^2=AH\cdot BH $£.

£$ CH^2 $£ è l'area del quadrato costruito sull'altezza £$ CH $£ e £$ AH\cdot BH $£ è l'area di un rettangolo di lati £$ AH $£ e £$ BH$£.

Possiamo riscrivere il secondo teorema di Euclide così:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha come lati le proiezioni del cateti sull'ipotenusa.

Esercizi svolti teoremi di Euclide

Ecco gli esercizi su teoremi di Euclide in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Triangoli! Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Geometria!

ESERCIZI TEOREMI DI EUCLIDE - 1

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ESERCIZI TEOREMI DI EUCLIDE - 2

Applica il primo e il secondo teorema di Euclide ai problemi di geometria sui triangoli e sugli altri poligoni. Calcola perimetri e aree. Confronta i tuoi risultati con le soluzioni degli esercizi!

ESERCIZI TEOREMI DI EUCLIDE - 3

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