Teoremi di Euclide

Abbiamo visto che, tracciando l'altezza relativa all'ipotenusa di un triangolo rettangolo £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ retto in £$ C $£, otteniamo due nuovi triangoli rettangoli simili a quello di partenza, £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£.

Se confrontiamo i due triangoli £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£, il rapporto tra le ipotenuse è uguale al rapporto tra i cateti minori. Se confrontiamo i due triangoli £$ \stackrel{\triangle}{ABC} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£, il rapporto tra le ipotenuse è uguale al rapporto tra i cateti maggiori. Triangoli simili hanno lati corrispondenti in proporzione. Allora possiamo rappresentare queste relazioni utilizzando proprio le proporzioni:

• £$ AB : AC = AC : AH $£;
• £$ AB : BC = BC : BH $£.

Ricordi come si chiama l'elemento che in una proporzione occupa entrambe le posizioni dei medi? È il medio proporzionale!

Possiamo enunciare allora il primo teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa.

Ma ecco un'interpretazione geometrica interessante di questo teorema... Ricordi la proprietà fondamentale delle proporzioni? Il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Quindi possiamo riscrivere le due proporzioni nel modo seguente:

• £$ AC^2=AB\cdot AH $£;
• £$ BC^2=AB\cdot BH $£.

£$ AC^2 $£ è l'area del quadrato costruito sul lato £$ AC $£ e £$ AB\cdot AH $£ è l'area di un rettangolo di lati £$ AB $£ e £$ AH$£. £$ BC^2 $£ è l'area del quadrato costruito sul lato £$ BC $£ e £$ AB\cdot BH $£ è l'area di un rettangolo di lati £$ AB $£ e £$ BH$£.

Possiamo riscrivere il primo teorema di Euclide così:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha come lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa.

Confrontiamo ora i due triangoli £$ \stackrel{\triangle}{ACH} $£ e £$ \stackrel{\triangle}{BCH} $£. Anch'essi sono simili! Quindi, il rapporto tra i cateti minori è uguale al rapporto tra i cateti maggiori. Possiamo rappresentare questa relazione utilizzando le proporzioni: £$ AH : CH = CH : BH $£. Questa volta è l'altezza £$ CH $£ ad essere medio proporzionale.

Possiamo enunciare allora il secondo teorema di Euclide:

In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Anche in questo caso possiamo trovare un’interessante interpretazione geometrica riscrivendo la proporzione in questo modo: £$ CH^2=AH\cdot BH $£.

£$ CH^2 $£ è l'area del quadrato costruito sull'altezza £$ CH $£ e £$ AH\cdot BH $£ è l'area di un rettangolo di lati £$ AH $£ e £$ BH$£.

Possiamo riscrivere il secondo teorema di Euclide così:

In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha come lati le proiezioni del cateti sull'ipotenusa.