Ripasso Invalsi argomento per argomento I e II classe - Aritmetica

Ripassa l'aritmetica per le prove Invalsi argomento per argomento: I e II classe.  

Ripassa la matematica che hai studiato in prima e seconda media e sarai pronto per affrontare l'esame di terza media!

Appunti

Questa lezione raccoglie un ripasso, diviso per argomento: 

  • i numeri naturali: ripassa i numeri naturali e le proprietà delle operazioni;
  • rappresentazioni grafiche: ripassa i modi più veloci per costruire e leggere un grafico;
  • la divisibilità: ripassa i concetti di multiplo e divisore e i criteri di divisibilità;
  • porsi e risolvere problemi: sfrutta le tue conoscenze di aritmetica per risolvere un problema di vita quotidiana;
  • le frazioni: ripassa come si scrive una frazione ed il confronto tra frazioni;
  • radice quadrata: non dimenticare come si calcola e quali sono le proprietà della radice quadrata.

 

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I numeri naturali

L'insieme dei numeri naturali, indicato con £$\mathbb{N}$£, comprende tutti i numeri interi da £$0$£ in poi.

All'interno dell'insieme £$\mathbb{N}$£ riconosciamo i numeri pari £$(2, 4, 6, ...)$£, cioè tutti i multipli di £$ 2 $£, e i numeri dispari £$(1,3,5, ...)$£, cioè tutti quelli che non sono divisibili per £$ 2 $£.

Nell'insieme dei numeri naturali possiamo svolgere l'addizione e la moltiplicazione senza alcuna eccezione. La sottrazione e la divisione, invece, sono operazioni più delicate: possiamo svolgere la sottrazione in £$ \mathbb{N} $£ solo se il primo numero (minuendo) è maggiore del secondo (sottraendo); possiamo svolgere la divisione in £$ \mathbb{N} $£ solo se il primo numero (dividendo) è multiplo del secondo (divisore), cioè solo se il risultato della divisione è ancora un numero naturale.

Rappresentazioni grafiche

Le rappresentazioni grafiche ci aiutano con l'analisi e il ragionamento in statistica. Di solito affiancano le tabelle in cui raccogliamo i dati osservati durante un'indagine statistica.
Conosciamo diversi tipi di grafici: solitamente rappresentano la frequenza assoluta oppure la frequenza relativa e percentuale di ciascun dato.
L'istogramma è un grafico a barre verticali: l'altezza di ciascuna colonna indica la frequenza con cui ritroviamo il dato nella tabella il dato che rappresenta.
Il diagramma a settori circolari è un cerchio: il cerchio intero rappresenta il £$100 \%$£, ogni settore colorato rappresenta la percentuale di ciascun dato rispetto al totale.
Grazie ai grafici, possiamo capire l'andamento di un'indagine statistica a colpo d'occhio: le immagini ci aiutano a confrontare i dati in modo immediato, senza bisogno di doverli leggere nella tabella.

Dati e previsioni

In matematica la probabilità e la statistica si occupano di raccogliere dei dati, analizzarli e fare delle previsioni.

I dati sono solitamente schematizzati tramite delle tabelle, che possiamo costruire analizzando il fenomeno.
Con tutti i dati disponibili possiamo fare delle previsioni sul comportamento futuro di un certo fenomeno, o su quando e come si potrebbe verificare un evento.

Analizziamo dei dati e facciamo delle previsioni quando lanciamo un dado e scommettiamo che esca un numero preciso, oppure quando vogliamo stimare il numero di lampadine difettose su £$1000$£ prodotte sapendo che la macchina ne fa una difettosa ogni £$44$£.

Il calcolo delle probabilità, quindi, permette di fare scommesse sugli avvenimenti futuri.

La divisibilità

Un numero naturale £$a$£ è divisibile per un altro numero naturale £$b$£ se £$b$£ è multiplo di £$a$£.

Per esempio £$135$£ può essere scritto come prodotto in diversi modi:
£$135=3^3 \cdot 5$£ oppure £$135=3 \cdot 45$£, ciò significa che è £$135$£ è divisibile per £$3$£, £$5$£, £$45$£, £$3^3=27$£.

Per capire se un numero è divisibile per un altro possiamo scomporlo in fattori come abbiamo fatto nell'esempio precedente, oppure fare la divisione e verificare che il resto sia uguale a zero. A volte, però, le fattorizzazioni e le divisioni sono lunghe e complicate, quindi, per capire se un numero è divisibile per un altro possiamo utilizzare delle scorciatoie, chiamate criteri di divisibilità.

I criteri di divisibilità sono dei modi per riconoscere subito se un numero è divisibile per un altro. I più conosciuti ed utilizzati sono:

  • divisibilità per £$2$£: un numero è divisibile per £$2$£ se la sua ultima cifra a destra è £$0$£ oppure è un numero pari. Per esempio, £$6$£, £$124$£, £$170$£ sono tutti numeri divisibili per £$2$£;
  • divisibilità per £$3$£e per £$9$£: un numero è divisibile per £$3$£ o per £$9$£ quando la somma delle sue cifre è divisibile per £$3$£ o, rispettivamente, per £$9$£, cioè è un multiplo di £$3$£ o di £$9$£. Per esempio, £$123$£ è divisibile per £$3$£ perché £$1+2+3=6$£, £$2574$£ è divisibile per sia per £$3$£ che per £$9$£ perché £$2+5+7+4=18$£, che è divisibile sia per £$3$£ che per £$9$£;
  • divisibilità per £$5$£: un numero è divisibile per £$5$£ quando l'ultima cifra a destra è £$0$£ oppure è £$5$£. Per esempio, £$45$£, £$1115$£, £$780$£ sono tutti numeri divisibili per £$5$£.

Porsi e risolvere un problema

Fare una torta con gli ingredienti nelle giuste proporzioni, stimare il numero di donne e uomini in una conferenza, distribuire la marmellata in un certo numero di barattoli, dosare giustamente le medicine della nonna... Sono tutti problemi che possono far parte della quotidianità e che risolviamo, anche senza accorgercene, con la matematica.

Per trovare la soluzione ad un problema di matematica quotidiana è bene procedere così:

  • analizzare il problema: analizza bene i dati del problema chiedendoti quali di questi sono utili e quali superflui. Poniti il problema come se lo stessi vivendo in prima persona;
  • trovare la strategia migliore: chiediti cosa puoi fare con i dati a tua disposizione e studia la strategia migliore, cioè quella più breve, tramite la quale puoi fare calcoli più brevi e più semplici;
  • risolvere il problema: trova la soluzione del problema sviluppando la strategia che hai scelto.

Le frazioni

Una frazione è un numero che esprime una quantità dividendo un intero in un certo numero di parti uguali.
Le frazioni non sono altro che quozienti: scriviamo £$a:b$£ come £$\frac{a}{b}$£. Il numero che sta sopra la linea, cioè £$a$£, si chiama numeratore, quella che sta sotto, cioè £$b$£, si chiama denominatore. La linea si chiama linea di frazione.

Le frazioni sono:

  • proprie quando il numeratore è minore del denominatore. Rappresentano un numero minore di £$1$£;
  • improprie quando il numeratore è maggiore del denominatore. Rappresentano un numero maggiore di £$1$£;
  • apparenti quando il numeratore è multiplo del denominatore. Rappresentano un numero intero.

In tutte le frazioni, se numeratore e denominatore hanno divisori comuni, questi possono essere semplificati, riducendo così la frazione ai minimi termini. Le frazioni che esprimono le stesse parti dell'intero, cioè quelle che ridotte ai minimi termini sono uguali, si dicono equivalenti.

Quando una frazione è maggiore o minore di un'altra?
Per confrontare le frazioni possiamo:

  • ridurle allo stesso denominatore: scriviamo le frazioni equivalenti a quelle date in modo che abbiano lo stesso denominatore. È maggiore la frazione con il numeratore maggiore;
  • ridurle allo stesso numeratore: scriviamo le frazioni equivalenti a quelle date in modo che abbiano lo stesso numeratore. È maggiore la frazione con il denominatore minore.

Radice quadrata

La radice quadrata è l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato.

£$\sqrt{9}$£ è la radice quadrata di £$9$£, ed è uguale a £$3$£. £$\sqrt{}$£ è il simbolo di radice quadrata, £$9$£ si chiama radicando, £$ \sqrt{9} $£ è il radicale. £$3$£ è il risultato perché è quel numero che, elevato al quadrato, dà il radicando £$9$£, infatti £$3^2=9$£.

Tutte quelle radici che sono uguali a numeri interi sono delle radici perfette.

Ci sono casi in cui non riusciamo a trovare il numero intero che elevato al quadrato dà il radicando. In questi casi lasciamo indicata la radice quadrata. Per esempio £$\sqrt{5}$£ non è uguale ad un numero intero e non si può semplificare ulteriormente.

Le proprietà più importanti della radice quadrata sono due:

  • prodotto di radici: il prodotto di due radici quadrate è uguale ad una nuova radice quadrata che ha per radicando il prodotto dei due radicandi. Per esempio £$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}=\sqrt{8 \cdot 2}=\sqrt{16}=4$£;
  • quoziente di radici: il quoziente di due radici quadrate è uguale ad una nuova radice quadrata che ha per radicando il quoziente dei due radicandi. Per esempio £$\sqrt{18}:\sqrt{2}=\sqrt{18:2}=\sqrt{9}=3$£ o, equivalentemente, £$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$£.