Ripasso Invalsi argomento per argomento I e II classe - Geometria

Due rette sono perpendicolari quando hanno un punto in comune e formano quattro angoli retti.

Esempio: prendiamo due rette perpendicolari, £$ r $£ e £$ s $£. Indichiamo che sono perpendicolari così: £$ r \perp s $£.

Due rette di un piano che non si intersecano mai sono parallele.

Esempio: prendiamo due rette parallele £$ t $£ e £$ q $£. Indichiamo che sono parallele così: £$ t \parallel q $£.

I criteri di parallelismo ci forniscono alcune proprietà importanti delle rette parallele. Due rette parallele tagliate da una trasversale formano:

• angoli alterni interni uguali;
• angoli alterni esterni uguali;
• angoli coniugati interni supplementari;
• angoli coniugati esterni supplementari;
• angoli corrispondenti uguali.

Vale anche il viceversa, cioè se due rette tagliate da una trasversale formano angoli alterni, coniugati e corrispondenti fatti in questo modo, allora le due rette sono parallele.

I triangoli sono poligoni con tre lati. Il triangolo è l'unico poligono indeformabile, cioè è l'unico poligono tale che, se premiamo su un suo lato, la sua forma non si modifica.

Non è sempre possibile costruire un triangolo: possiamo costruire un triangolo solo se ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.

La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto, cioè vale £$ 180^\circ $£.

L'altezza di un triangolo è il segmento perpendicolare condotto da un vertice alla retta a cui appartiene il lato opposto.

La formula per calcolare l'area del triangolo è: £$ A = \frac{\text{base } \cdot \text{ altezza}}{2} $£.

I quadrilateri sono poligoni con quattro lati.

La somma degli angoli interni di un quadrilatero è un angolo giro, cioè vale £$ 360^\circ $£.

Esistono diversi tipi di quadrilateri:

• i trapezi sono quadrilateri con solo due lati paralleli;
• i parallelogrammi sono quadrilateri con i lati opposti paralleli.
  • i rettangoli sono parallelogrammi con quattro angoli retti;
  • i rombi sono parallelogrammi con quattro lati uguali;
  • i quadrati sono parallelogrammi equilateri e equiangoli.

Ogni quadrilatero possiede due diagonali ciascuna delle quali divide il quadrilatero in due triangoli. In alcuni casi, le diagonali sono assi di simmetria per i quadrilateri: questo è il caso del quadrato e del rombo.

Ripassiamo le formule per calcolare le aree:

• parallelogramma: £$ A = \text{base} \cdot \text{altezza} $£
• quadrato: £$ A = (\text{lato})^2 $£
• rombo: £$ A = \frac{\text{diagonale maggiore } \cdot \text{ diagonale minore}}{2} $£
• trapezio: £$ A = \frac{(\text{base maggiore } + \text{ base minore}) \cdot \text{ altezza}}{2} $£

Le isometrie sono delle corrispondenze tra due figure nelle quali sono congruenti i segmenti e gli angoli corrispondenti. Sono isometrie:

• la simmetria assiale: la simmetria rispetto ad una retta chiamato asse di simmetria;
• la simmetria centrale: la simmetria rispetto ad un punto chiamato centro di simmetria. Questo punto è il punto medio del segmento che unisce due punti delle figure simmetriche;
• la traslazione: lo spostamento di tutti i punti di una figura in una stessa direzione indicata da un vettore. Il vettore si indica con una freccia: la sua lunghezza indica la misura dello spostamento, la retta su cui giace indica la direzione, la punta della freccia indica il verso;
• la rotazione: il movimento in senso orario o antiorario di una figura intorno a un centro chiamato centro di rotazione.

Tutte queste sono trasformazioni isometriche perché non alterano forma e dimensioni delle figure, ma compiono solo degli spostamenti rigidi.

Dato un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Chiamiamo l'ipotenusa £$ i $£ e i due cateti £$ c_1 $£ e £$ c_2 $£, possiamo scrivere così la relazione del teorema di Pitagora:

£$ i^2 = {c_1}^2 + {c_2}^2 $£

Quindi possiamo ricavare tutte le formule utilizzando la radice quadrata:

• £$ i = \sqrt{{c_1}^2 + {c_2}^2} $£
• £$ c_1 = \sqrt{i^2 -{c_2}^2} $£
• £$ c_2 = \sqrt{i^2 - {c_1}^2} $£

Il teorema di Pitagora è molto utile per trovare le misure dei lati dei poligoni dalle forme più strane: basta suddividere ciascuna figura in triangoli rettangoli e applicare il teorema di Pitagora utilizzando i dati a nostra disposizione per trovare le misure mancanti.

Le similitudini sono trasformazioni geometriche che lasciano inalterati gli angoli. I lati di due figure simili sono in proporzione, mentre rimane invariata la forma delle due figure.

Due figure si dicono simili quando hanno la stessa forma.

Conosciamo tre criteri di similitudine per i triangoli:

1. Primo criterio di similitudine: due triangoli sono simili quando hanno gli angoli corrispondenti uguali.
2. Secondo criterio di similitudine: due triangoli sono simili quando hanno due lati in proporzione e l'angolo tra essi compreso uguale.
3. Terzo criterio di similitudine: due triangoli sono simili se hanno i lati in proporzione.