Ripasso Invalsi argomento per argomento III classe - Algebra

La geometria analitica è quella parte della matematica in cui si ha la perfetta fusione tra l'algebra e la geometria. In geometria analitica, infatti, si studiano le caratteristiche dei principali enti geometrici, per esempio i punti e le rette, e le figure geometriche, per esempio la circonferenza, tramite l'algebra. Come si fa? Basta sfruttare il piano cartesiano!
Per esempio, per due punti passa una ed una sola retta. Disegniamola sul piano cartesiano, troviamo due suoi punti e cerchiamo la legge che lega i due punti, questa sarà l'equazione di quella specifica retta!

Con la geometria analitica, quindi possiamo:

• costruire un grafico a partire da un insieme di punti;
• leggere un grafico e dedurre la legge che lega tutti i suoi punti;
• confrontare più grafici e quindi più fenomeni.

L'insieme dei numeri naturali £$\mathbb{N}$£ è l'insieme di tutti i numeri interi da £$0$£ in poi. Nell'insieme dei numeri naturali si possono svolgere l'addizione e la moltiplicazione senza eccezioni. La sottrazione, invece, non è un'operazione interna all'insieme £$ \mathbb{N} $£: si può svolgere solo se il minuendo è maggiore del sottraendo. Vale lo stesso anche per la divisione: si può svolgere solo se il dividendo è multiplo del divisore.

Nell'insieme dei numeri relativi £$\mathbb{Z}$£ ci sono tutti i numeri con segno, cioè positivi e negativi: tutti i numeri naturali da £$0$£ in poi, e i numeri negativi, più piccoli dello £$0$£. La sottrazione è un'operazione interna a questo insieme: nei numeri relativi possiamo sempre sommare, moltiplicare e sottrarre qualsiasi elemento dell'insieme. La divisione, invece, si può svolgere solo se dividendo e divisore sono multipli.

L'insieme dei numeri razionali £$\mathbb{Q}$£ contiene tutti i numeri che si possono ottenere come rapporto di due numeri, per esempio le frazioni. Per questo la divisione è un'operazione interna a questo insieme: nei numeri razionali è possibile svolgere qualsiasi operazione. La divisione tra due numeri interi qualsiasi è una frazione, e le frazioni sono elementi dei numeri razionali.

Esistono poi i numeri irrazionali, che sono quelli che non si possono scrivere sotto forma di frazioni o numeri interi: per esempio le radici, oppure £$\pi$£. Sono cioè quei numeri decimali con infinite cifre dopo la virgola che non si ripetono con regolarità. L'insieme che comprende i numeri razionali e irrazionali è l'insieme dei numeri reali e si indica con £$\mathbb{R}$£.

L'aritmetica è quella parte della matematica che si studia i numeri, le operazioni e le proprietà delle operazioni.

La geometria, invece, è quella parte della matematica che si occupa del mondo che ci circonda studiando le forme del piano e dello spazio.

In matematica, poi, c'è l'algebra, che fa il primo passaggio verso l'astrazione, quindi si occupa ancora delle operazioni, degli insiemi e degli insiemi numerici, ma in maniera più generale.

Con l'algebra possiamo generalizzare le proprietà studiate in aritmetica o generalizzare le formule di geometria e risolvere problemi per cui non conosciamo i valori specifici di ogni dato.

Per risolvere i problemi con l'algebra sfruttiamo gli elementi di calcolo algebrico, come per esempio il calcolo letterale.

Esempio: il peso di £$3$£ pere è uguale al peso di £$9$£ mele sommato a quello di £$6$£ arance. Chiamiamo le pere £$p$£, le mele £$m$£ e le arance £$a$£ e scriviamo questo problema grazie all'algebra: £$3p=9m+6a$£. A partire da questa espressione che contiene lettere e numeri possiamo trovare, per esempio, la relazione tra tutte le variabili.

Una funzione è una legge matematica che lega due variabili, solitamente chiamate £$x$£ e £$y$£.
Scriviamo la funzione £$ f $£ in questo modo: £$y=f(x)$£. Significa che per ogni valore di £$x$£, ne ottengo uno ed uno solo di £$y$£. £$x$£ è la variabile indipendente mentre £$y$£ è la variabile dipendente, perché il suo valore dipende da quello della £$x$£.

Attenzione! Per ogni £$x$£ deve esserci una sola £$y$£, altrimenti non possiamo parlare di funzione matematica!

Esempio: £$y=2x$£ è una funzione che, a partire da un numero £$x$£, ci restituisce un altro numero £$y$£, che è esattamente il doppio di £$x$£. Se £$x=1$£ allora £$y=2 \cdot 1=2$£; se £$x=3$£ allora £$y=2 \cdot 3=6$£.

Le funzioni possono essere rappresentate nel piano cartesiano. Tutte le £$x$£ e le rispettive £$y$£ che otteniamo sono le coordinate dei punti della funzione: unendo tutti questi punti troviamo il grafico della funzione.
Esempio: la funzione £$y=2x$£ passerà per i punti £$A(1;2)$£ e £$B(3;6)$£.

Viceversa è possibile risalire alla legge matematica analizzando il grafico. Dal grafico possiamo trovare alcuni punti, inserire in una tabella le loro coordinate e trovare la relazione che lega la £$y$£ e la £$x$£: questa relazione è proprio la funzione £$y=f(x)$£.

In fisica le funzioni sono molto usate insieme ai loro grafici. Le ritroviamo, per esempio, per analizzare il moto di un corpo. Guardando il grafico possiamo capire il comportamento di un fenomeno oppure le caratteristiche del moto e poi risalire alla legge matematica che le governa!

In matematica la probabilità e la statistica si occupano di raccogliere dei dati, analizzarli e fare delle previsioni.

I dati sono solitamente schematizzati tramite delle tabelle, che possiamo costruire analizzando il fenomeno.
Con tutti i dati disponibili possiamo fare delle previsioni sul comportamento futuro di un certo fenomeno, o su quando e come si potrebbe verificare un evento.

Analizziamo dei dati e facciamo delle previsioni quando lanciamo un dado e scommettiamo che esca un numero preciso, oppure quando vogliamo stimare il numero di lampadine difettose su £$1000$£ prodotte sapendo che la macchina ne fa una difettosa ogni £$44$£.

Il calcolo delle probabilità, quindi, permette di fare scommesse sugli avvenimenti futuri.

Ora che hai imparato ad usare i numeri, a conoscere le operazioni e le loro proprietà, puoi sfruttare queste conoscenze di aritmentica per risolvere problemi di diverso tipo.
Esempio: £$a$£ e £$b$£ sono due numeri naturali, entrambi pari. Sapresti dire se il prodotto £$a \cdot b$£ è pari? Per risolverlo puoi chiederti:

• quali sono i numeri pari? £$2$£, £$4$£, £$6$£ sono numeri pari;
• quale caratteristica hanno in comune i numeri pari? I numeri pari sono tutti sono tutti multipli di £$2$£;
• cosa succede se moltiplichi due numeri pari? £$2 \cdot 4= 8$£; £$2 \cdot 6= 12$£;
• che caratteristica ha il prodotto di questi numeri pari? Appartiene sempre alla della tabellina del £$2$£, quindi è ancora un numero pari;
• come puoi scrivere in generale un numero pari? E il prodotto di due numeri pari? Un numero pari, può essere scritto in generale come £$2a$£; il prodotto di due numeri pari £$2a$£ e £$2b$£ sarà £$2a \cdot 2b=4 \cdot ab$£, che quindi è multiplo di £$4$£, allora è multiplo anche di £$2$£, cioè è ancora un numero pari.