Problema con equazioni, monomi e polinomi

Prova a risolvere questo problema con equazioni, monomi e polinomi per prepararti all'esame di terza media. Ripassa tutti gli argomenti e rispondi a tutte le domande. Segui il procedimento... Allenarsi è il modo migliore per raggiungere i risultati!

Appunti

Per risolvere questo quesito dell'esame di terza media, devi ripassare questi argomenti:

  • come risolvere un'equazione;
  • come sviluppare i prodotti notevoli;
  • come risolvere un'espressione con monomi e polinomi;
  • come tradurre un problema in un'equazione lineare.

Preparati al meglio per affrontare la prova di matematica dell'esame di terza media.

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Argomenti da ripassare

Per risolvere questo problema dell'esame di terza media, ripassa questi argomenti:

Testo del problema

a) Risolvi la seguente equazione:

$$ - 1 + 12 \cdot (x+2) - 15 \cdot (x-1) = -4 + 8(x + 8) $$

b) Esprimi sotto forma di espressione algebrica letterale l'area della figura e riduci i termini.

c) Risolvi il seguente problema dopo averlo tradotto in un’equazione:

Determina un numero sapendo che la somma tra i suoi £$ \dfrac 34 $£ e i £$ \dfrac 57 $£ del suo successivo è uguale ai £$ \dfrac 32 $£ del numero stesso aumentati di £$ 2 $£.

Soluzione del punto a)

a) Risolvi la seguente equazione:

$$ - 1 + 12 \cdot (x+2) - 15 \cdot (x-1) = -4 + 8(x + 8) $$

Per prima cosa svolgiamo i prodotti per liberarci delle parentesi:

$$ - 1 + 12x+24 - 15x+15= -4 + 8x + 64 $$

Spostiamo i termini con l'incognita al primo membro e quelli rimanenti al secondo. Ricordati che data un'equazione, ne otteniamo una equivalente se trasportiamo un termine da una parte all'altra dell'uguale cambiandogli di segno!

$$12x-15x-8x=1-24-15-4+64$$

Ora possiamo sommare i termini simili.

$$-11x=22$$

Quindi, dividendo entrambi i termini per £$ -11 $£:

$$x=-2$$

La soluzione dell'equazione è £$-2$£.

Soluzione del punto b)

b) Esprimi sotto forma di espressione algebrica letterale l'area della seguente figura e riduci i termini.

L'area della figura è data dall'area del quadrato grande (di lato £$2a+3$£) a cui va sottratta l'area del rettangolo di lati £$a+1$£ e £$a-1$£. Quindi:

$$(2a+3)^2- (a+1) \cdot (a-1) $$

Per risolvere l'espressione iniziamo svolgendo i quadrati e i prodotti tra le parentesi. Fai attenzione ai prodotti notevoli! La prima parentesi è un quadrato di binomio, cioè £$(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 $£; le ultime due parentesi sono nella forma £$(A+B)\cdot(A-B)$£ (somma per differenza), che equivale a £$(A^2-B^2)$£.

$$4a^2+12a+9-(a^2-1)$$

Svolgiamo i prodotti per liberarci delle parentesi. Ricorda che il £$-$£ davanti alla parentesi sottintende il coefficiente £$-1$£.

$$4a^2+12a+9-a^2+1$$

Ora possiamo sommare i termini simili:

$$3a^2+12a+10$$

L'area della figura è di £$ 3a^2 + 12a + 10 $£.

Soluzione del punto c)

c) Risolvi il seguente problema dopo averlo tradotto in un’equazione:

Determina un numero sapendo che la somma tra i suoi £$ \dfrac 34 $£ e i £$ \dfrac 57 $£ del suo successivo è uguale ai £$ \dfrac 32 $£ del numero stesso aumentati di £$ 2 $£.

Indichiamo con £$x$£ il numero che stiamo cercando. Scriviamo tutte le parti del problema utilizzando la nostra £$ x $£:

  • "i suoi £$ \frac 34 $£": £$\dfrac 34 x $£
  • "i £$ \frac 57 $£ del suo successivo":  £$ \dfrac57(x+1) $£
  • "i £$ \frac 32 $£ del numero stesso aumentati di £$ 2 $£": £$ \dfrac32 x +2$£

Ora che abbiamo tutti i pezzi che ci servono, scriviamo la nostra equazione:

$$\dfrac 34 x + \dfrac57(x+1)=\dfrac32 x +2$$

Risolviamola! Ricordati che moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per uno stesso numero o un'espressione letterale diversi da 0, otteniamo un'equazione equivalente. Quindi possiamo moltiplicare entrambi i membri per il £$ \text{m.c.m.}(2,4,7) = 28$£, così da togliere il denominatore alle frazioni che compaiono.

$$21x+20(x+1)=42x+56$$

Spostiamo i termini con l'incognita al primo membro, e quelli rimanenti al secondo.

$$21x+20x-42x=56-20$$

Ora possiamo sommare i termini simili.

$$-x=36$$

Quindi:

$$x=-36$$