Problema di calcolo algebrico

Prova a risolvere questo problema di calcolo algebrico per prepararti all'esame di terza media. Ripassa tutti gli argomenti e rispondi a tutte le domande. Segui il procedimento... Allenarsi è il modo migliore per raggiungere i risultati!

Per risolvere questo quesito dell'esame di terza media, devi ripassare questi argomenti:

  • come risolvere un'equazione;
  • come sviluppare i prodotti notevoli;
  • come risolvere un'espressione con monomi e polinomi;
  • come tradurre un problema in un'equazione lineare.

Preparati al meglio per affrontare la prova di matematica dell'esame di terza media.

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Argomenti da ripassare

Per risolvere questo problema dell'esame di terza media, ripassa questi argomenti:

Testo del problema

a) Risolvi la seguente equazione:

$$ 4x + 5 + 2 (x - 3) = +2(x - 1) + 3 + 2x $$

b) Risolvi la seguente espressione algebrica letterale riducendo, poi, i termini simili.

$$ \left( a + \frac 12b \right)^2 - \left( a - \frac 12b \right)^2 + 3a^2 - \frac 13 \cdot (3a + 6b) \cdot (3a - 6b) $$

c) Risolvi il seguente problema dopo averlo tradotto in un’equazione:

La somma di un numero e della metà del suo consecutivo è uguale al doppio del numero stesso aumentato di 5. A quale insieme numerico appartiene la soluzione?

Soluzione del punto a)

a) Risolvi la seguente equazione:

$$ 4x + 5 + 2 (x - 3) = +2(x - 1) + 3 + 2x $$

Per prima cosa svolgiamo i prodotti per liberarci delle parentesi:

$$4x + 5 +2x -6 = 2x -2 +3 + 2x$$

Ricorda che data un'equazione, ne otteniamo una equivalente se cancelliamo i termini uguali a sinistra e a destra dell'uguale! Quindi il termine £$2x$£ al primo mebro si può semplificare con il termine £$2x$£ al secondo membro.

$$4x +5-6 = 2x-2+3$$

Spostiamo i termini con l'incognita al primo membro e quelli rimanenti al secondo. Ricordati che data un'equazione, ne otteniamo una equivalente se trasportiamo un termine da un membro all'altro cambiandogli il segno!

$$4x -2x= -2+3-5+6$$

Ora possiamo sommare i termini simili.

$$2x=2$$

Quindi:

$$ x = 1$$

La soluzione dell'equazione è 1.

Soluzione del punto b)

b) Risolvi la seguente espressione algebrica letterale riducendo, poi, i termini simili.

$$ \left( a + \frac 12b \right)^2 - \left( a - \frac 12b \right)^2 + 3a^2 - \frac 13 \cdot (3a + 6b) \cdot (3a - 6b)= $$

Iniziamo svolgendo i quadrati e i prodotti tra le parentesi. Fai attenzione ai prodotti notevoli! Le prime parentesi sono dei quadrati di binomi, cioè £$(A \pm B)^2 = A^2 \pm\ 2AB + B^2 $£; le ultime due parentesi sono nella forma £$(A+B)\cdot(A-B)$£ (somma per differenza), che equivale a £$(A^2-B^2)$£.

$$=a^2+ab+\frac14b^2-\left(a^2-ab+\frac14b^2\right)+3a^2-\frac13\cdot(9a^2-36b^2)=$$

Svolgiamo i prodotti per liberarci delle parentesi. Ricorda che il £$-$£ davanti alla prima parentesi sottintende il coefficiente £$-1$£.

$$=a^2+ab+\frac14b^2-a^2+ab-\frac14b^2+3a^2-3a^2+12b^2=$$

Ora possiamo sommare i termini simili:

$$=2ab+12b^2=$$

Per rendere più elegante l'espressione possiamo raccogliere £$2b$£ tra i due termini:

$$=2b(a+6b)$$

Soluzione del punto c)

c) Risolvi il seguente problema dopo averlo tradotto in un’equazione:

La somma di un numero e della metà del suo consecutivo è uguale al doppio del numero stesso aumentato di 5. A quale insieme numerico appartiene la soluzione?

Indichiamo con £$x$£ il numero che stiamo cercando. Scriviamo tutte le parti del problema utilizzando la nostra £$ x $£:

  • "la somma di un numero e della metà del suo consecutivo": £$x+\frac 12 (x+1) $£;
  • "il doppio del numero stesso aumentato di 5": £$2x+5$£.

Ora che abbiamo tutti i pezzi che ci servono, scriviamo la nostra equazione:

$$x+\frac 12 (x+1) =2x+5$$

Risolviamola! Ricordati che moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione per uno stesso numero o un'espressione letterale diversi da 0, otteniamo un'equazione equivalente. Quindi possiamo moltiplicare entrambi i membri per £$2$£, così da togliere il denominatore all'unica frazione che compare.

$$2x+x+1=4x+10$$

Spostiamo i termini con l'incognita al primo membro, e quelli rimanenti al secondo.

$$2x+x-4x=10-1$$

Ora possiamo sommare i termini simili.

$$-x=9$$

Quindi:

$$x=-9$$

La soluzione dell'equazione è £$-9$£ e appartiene all'insieme numerico £$ \mathbb{Z} $£ dei numeri interi relativi.

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