Eventi e probabilità

La probabilità serve a misurare il futuro. Ma di cosa? Di avvenimenti, anzi meglio, di eventi. Ce ne sono di vario tipo. Qui puoi imparare a conoscere gli eventi aleatori o casuali e scoprire come calcolare la probabilità di eventi compatibili o incompatibili con i video e gli esercizi svolti!

Calcolare la probabilità che esca "6" dal lancio di un dado ti sembrerà facile. Ma cosa succede se vogliamo sapere quanto sia probabile che esca un numero pari o un numero maggiore di £$3$£?

Queste sono le domande alle quali imparerai a rispondere al termine di questa lezione. Scoprirai cosa significa che due eventi sono compatibili o incompatibili e molto altro!

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Prerequisiti per imparare come calcolare la probabilità di eventi

Cos'è un evento

Nell’introduzione alla probabilità abbiamo parlato di probabilità di eventi. Ma cos’è un evento? È qualunque cosa possa essere osservata e misurata.

Ma attenzione! Nel calcolo delle probabilità ci interessano solo gli eventi casuali o aleatori (dal latino alea - dado) cioè gli eventi legati al caso o che comunque non possiamo prevedere.

Ad esempio un evento aleatorio è il risultato del lancio di un dado, oppure vincere alla lotteria. Il calcolo delle probabilità quindi si occupa solo degli eventi casuali o aleatori.

Qual è il rapporto tra gli eventi

Abbiamo visto come calcolare la probabilità di un evento casuale. Ma come si calcola la probabilità di due eventi? Ci serve sapere se il verificarsi di un evento modifica la probabilità di verificarsi del secondo. Se questo accade, i due eventi sono dipendenti. Se invece il verificarsi di uno non modifica la probabilità dell’altro, allora i due eventi sono indipendenti.

Se due eventi sono dipendenti possono essere

  • compatibili, cioè possono verificarsi contemporaneamente
  • incompatibili, cioè o si verifica uno oppure si verifica l’altro, cioè la probabilità che si verifichino entrambi contemporaneamente è £$0$£.

Probabilità dell'intersezione di eventi

Come calcolare la probabilità che due eventi si verifichino contemporaneamente?

Ad esempio, al lancio di un dado considero i due eventi:

  • £$A=\,$£"esce un numero pari"
  • £$B=\,$£"esce £$5$£"

Qual è la probabilità che si verifichino entrambi? Cioè, qual è la probabilità che esca un numero pari e che questo numero sia £$5$£?

I due eventi sono incompatibili, infatti il risultato del lancio del dado non può essere pari e contemporaneamente uguale a £$5$£.

  • £$A={2,4,6}$£ e £$P(A)=\dfrac12$£
  • £$B={5}$£ e £$P(B)=\dfrac16$£

Scriviamo che £$A\cap B=\emptyset$£ e £$P(A\cap B)=0$£.

£$A\cap B$£ si chiama evento intersezione. La probabilità dell'intersezione è la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi contemporaneamente!

La probabilità dell'intersezione di eventi incompatibili è uguale a £$0$£!

E se due eventi fossero compatibili? L'intersezione non è vuota e la probabilità che si verifichino contemporaneamente non è £$0$£!

Ad esempio, se al lancio di un dado considero i due eventi:

  • £$A=\,$£"esce un numero pari"
  • £$B=\,$£"esce £$4$£"

questi sono compatibili, infatti £$4$£ è un numero pari.

  • £$A={2,4,6}$£ e £$P(A)=\dfrac12$£
  • £$B={4}$£ e £$P(B)=\dfrac16$£

Ma £$A\cap B={4}$£ e £$P(A\cap B)=\dfrac16$£.

La probabilità dell'intersezione di eventi compatibili NON è uguale a £$0$£!

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Probabilità dell'unione di eventi

E se volessimo calcolare la probabilità che accada uno qualsiasi tra due eventi?

Prendiamo ancora il caso del lancio del dado e dei due eventi incompatibili:

  • £$A=\,$£"esce un numero pari"
  • £$B=\,$£"esce £$5$£"

Qual è la probabilità che si verifichi uno o l'altro? Cioè, qual è la probabilità che esca un numero pari oppure che questo numero sia £$5$£?

Sappiamo già che i due eventi sono incompatibili e che:

  • £$A=\{2,4,6\}$£ e £$P(A)=\dfrac12$£
  • £$B=\{5\}$£ e £$P(B)=\dfrac16$£
  • £$A\cap B=\emptyset$£ e quindi £$P(A\cap B)=0$£.

La probabilità che si verifichi uno o l'altro è la probabilità dell'evento unione £$A\cup B$£.

£$A\cup B=\{2,4,5,6\}$£ e £$P(A\cup B)=\dfrac46=\dfrac23$£

La probabilità dell'unione di eventi incompatibili è $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

infatti £$\dfrac12+\dfrac16=\dfrac46=\dfrac23$£

Consideriamo invece il caso che abbiamo già visto dei due eventi compatibili:

  • £$A=\,$£"esce un numero pari"
  • £$B=\,$£"esce £$4$£"

Sappiamo che:

  • £$A=\{2,4,6\}$£ e £$P(A)=\dfrac12$£
  • £$B=\{4\}$£ e £$P(B)=\dfrac16$£
  • £$A\cap B=\{4\}$£ e £$P(A\cap B)=\dfrac16$£.

L'evento unione è £$A\cup B={2,4,6} $£ e £$P(A\cup B)=\dfrac12$£

La probabilità dell'unione di eventi compatibili è $$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

infatti £$\dfrac12+\dfrac16-\dfrac16=\dfrac12$£

Trovi la tabella con tutte le formule qui.

Esercizi svolti Eventi e probabilità

Ecco gli esercizi su Eventi e probabilità in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Probabilità. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Dati e previsioni

Esercizi Eventi e probabilità - 1

Cosa sono gli eventi? Qual è la differenza tra eventi compatibili e incompatibili? Prova a completare il livello 1 di esercizi sul calcolo delle probabilità!

Esercizi Eventi e probabilità - 2

Esercitati per imparare a riconoscere quali eventi sono compatibili e quali sono incompatibili e a calcolare la probabilità dell'intersezione e dell'unione di eventi con gli esercizi del livello 2!

Esercizi Eventi e probabilità - 3

Scopri come calcolare la probabilità dell'unione e dell'intersezioni di eventi presi dalla vita di tutti i giorni. Allenati con gli esercizi (tutti spiegati) del livello 3!

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