Circonferenza e retta nel piano cartesiano

Scopri quali sono le posizioni reciproche tra una circonferenza e una retta nel piano cartesiano e impara i diversi metodi per trovare l'equazione di una retta tangente a una circonferenza. Troverai tanti esercizi svolti per allenarti: cosa aspetti?!?!

Quanti punti del piano cartesiano possono avere in comune una retta ed una circonferenza? 0, 1, 2, 3...? Quante rette tangenti alla circonferenza ci sono passanti per un dato punto? E come fare a trovarne l'equazione? Se sono domande a cui non sai rispondere guarda la nostra lezione!

In questa lezione imparerai:

  • Posizioni reciproche di una retta e una circonferenza: quante intersezioni possono avere una retta ed una circonferenza?
  • Rette tangenti: primo metodo: dove utilizziamo la condizione di tangenza
  • Rette tangenti: secondo metodo: dove sfruttiamo la definizione di retta tangente
  • Rette tangenti:terzo metodo: da usare solo se il punto appartiene alla circonferenza

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Prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di circonferenza e retta nel piano cartesiano

I prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di circonferenza e retta nel piano cartesiano sono:

Circonferenza e retta: posizioni reciproche

Proviamo a stabilire la posizione di una retta rispetto a una circonferenza.

Una circonferenza di centro £$C$£ e raggio £$r$£, e una retta che ha distanza £$d$£ dal centro £$C$£ sono:

  • secanti se hanno due punti distinti in comune: £$d < r$£
  • tangenti se hanno un unico punto in comune: £$d=r$£
  • esterne se non hanno punti in comune: £$d > r$£

Intersechiamo una circonferenza e una retta: scriviamo il sistema £$\begin{cases} x^2+y^2+ax+by+c=0\\y=mx+q \end{cases}$£

Ora, se sostituiamo, nell'equazione della circonferenza, al posto di £$y$£ l'espressione £$mx+q$£ abbiamo un'equazione di secondo grado, che è l'equazione risolvente il sistema!
Ma un'equazione di secondo grado può avere una, due o nessuna soluzione!
Quindi a seconda del delta dell'equazione risolvente si ha che una retta e una circonferenza sono:

  • Secanti se il delta è positivo:£$\Delta>0$£ (il sistema ha due soluzioni reali distinte)
  • Tangenti se il delta è nullo: £$\Delta=0$£ (il sistema ha due soluzioni coincidenti, quindi un sola)
  • Esterne se il delta è negativo: £$\Delta<0$£ (il sistema non ha soluzioni reali)

Come trovare le rette tangenti: 1° metodo

Concentriamoci ora sulle rette tangenti a una circonferenza. Un punto £$P$£ rispetto a una circonferenza £$\gamma$£ può essere:

  • esterno a £$\gamma$£: ci sono due tangenti per £$P$£ alla circonferenza;
  • punto di £$\gamma$£: esiste una sola tangente per £$P$£ alla circonferenza;
  • interno a £$\gamma$£: non ci sono rette tangenti alla circonferenza e passanti per £$P$£.

Come facciamo a trovare le equazioni delle rette tangenti, quando esistono?

Come primo metodo, utilizziamo la condizione di tangenza: il discriminante dell'equazione risolvente deve essere nullo. L'obiettivo è trovare l'equazione della retta tangente passante per un punto £$P(x_0;y_0)$£

Il procedimento da seguire è:

  1. scrivere la generica retta che passa per £$P$£: £$y-y_0=m(x-x_0)$£
    L'unica cosa che non conosciamo è £$m$£, il coefficiente angolare!
  2. mettere questa equazione a sistema con quella della circonferenza
  3. trovare l'equazione risolvente e calcolare il discriminante
  4. il discriminante dipende da £$m$£: imponiamo che il discriminante sia uguale a zero. Così troviamo il valore del coefficiente angolare £$m$£ che rende la retta tangente!

Come trovare le rette tangenti: 2° metodo

Il secondo metodo per trovare l'equazione delle tangenti a una circonferenza passanti per un punto £$P$£ sfrutta la definizione di retta tangente.

Una circonferenza di raggio £$r$£ è tangente ad una retta se la distanza £$d$£ di questa retta dal centro £$C$£ è uguale al raggio.

Procediamo così:

  1. troviamo il fascio di rette passanti per il punto £$P$£
  2. imponiamo che la distanza del centro £$C$£ dalla retta sia uguale a £$r$£

Come trovare le rette tangenti: 3° metodo

Il terzo metodo vale solo se il punto £$P$£ appartiene alla circonferenza.

In questo caso, possiamo trovare la retta tangente £$t$£ come retta perpendicolare al raggio che unisce £$P$£ con il centro £$C$£

I passi da seguire sono:

  1. trovare le coordinate del centro £$C$£
  2. ricavare il coefficiente angolare £$m'$£ della retta che passa per £$P$£ e per £$C$£
  3. La retta tangente è perpendicolare alla retta trovata prima, quindi £$m=-\frac{1}{m'}$£
  4. Sostituire il valore di £$m$£ nel fascio di rette passanti per £$P$£

All'interrogazione potrebbero chiederti...

È tempo di interrogazione! Sei preparato? Se hai visto le lezioni dovresti esserlo. Mettiti alla prova, rispondendo a queste domande!

Se hai dubbi puoi sempre allenarti con gli esercizi sulle posizioni reciproche tra retta e circonferenza!

Sfida: circonferenza e retta

Cosa succede se mentre sei in volo, un raggio di luce attraversa la tua traiettoria? È un bel problema...

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Esercizi svolti Circonferenza e retta nel piano cartesiano

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Esercizi Circonferenza e retta nel piano cartesiano - 1

Esercizi Circonferenza e retta nel piano cartesiano - 2

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