Condizioni per trovare l'ellisse

Impara come trovare un'ellisse sapendo su che asse si trovano i fuochi e passante per due punti, oppure conoscendo un punto e la sua eccentricità, oppure l'equazione di una retta tangente.

Per trovare l'equazione di una retta bisogna avere una condizione, per determinare l'equazione di una parabola servono 3 condizioni, così come l'equazione di una circonferenza. Per determinare l'equazione di un'ellisse servono 2 condizioni, perché sono 2 i parametri da determinare. Le due condizioni per trovare l'equazione canonica di un'ellisse sono una combinazione di due fra queste informazioni: uno o due punti appartenenti all'ellisse, il fuoco, il vertice, l'eccentricità e l'equazione di una retta tangente.
Con gli esempi e gli esercizi svolti puoi imparare a determinare l'equazione di un'ellisse: ti servirà per risolvere i problemi di geometria analitica.

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Prerequisiti per imparare le condizioni per trovare l'ellisse

I prerequisiti per imparare le condizioni per trovare l'ellisse sono:

Ellisse passante per due punti

L'equazione dell'ellisse in forma canonica ha due parametri, £$ a^2 $£ e £$ b^2 $£, quindi sono necessarie due condizioni per determinare l'equazione di un'ellisse.

Per trovare l'equazione dell'ellisse, basta conoscere le coordinate di due suoi punti. Questi due punti non devono essere simmetrici rispetto all'asse £$x$£, all'asse £$y$£ o all'origine, altrimenti danno un'informazione sola e non due diverse.

Ellisse ed eccentricità

Possiamo ricavare altre condizioni utili per trovare l'equazione dell'ellisse sapendo:

  • su quale asse si trovano i fuochi: se i fuochi si trovano sull'asse £$x$£ sappiamo che £$a^2 > b^2$£, se invece i fuochi si trovano sull'asse £$y$£ allora £$a^2 < b^2$£
  • un punto £$P$£ dell'ellisse
  • l'eccentricità. La formula da usare dipende dalla posizione dei fuochi:
    • se £$a^2 > b^2 $£ allora £$e = \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$£
    • se £$a^2 < b^2 $£ allora £$e = \frac{c}{b}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}$£

Attenzione! Se il punto che conosciamo è uno dei vertici, allora non dobbiamo sostituire le coordinate nell'equazione canonica dell'ellisse, ma conosciamo già il valore di £$a^2$£ o di £$b^2$£. Possiamo ricavare l'altro parametro con la formula dell'eccentricità.

Ellisse e retta tangente

Possiamo trovare l'equazione canonica di un ellisse sapendo l'equazione di una retta tangente. Oltre a questa informazione, ne serve un'altra: potrebbe essere le coordinate di un fuoco oppure di un punto dell'ellisse.

In ognuno di questi casi mettiamo a sistema l'equazione generica dell'ellisse e l'equazione della retta tangente, imponendo poi che il £$ \Delta $£ dell'equazione risolvente sia nullo. Troviamo un nuovo sistema con incognite £$a^2$£ e £$b^2$£ e possiamo determinarli in maniera unica utilizzando l'altra informazione, cioè il fuoco oppure il punto.

Esercizi su come trovare l'equazione dell'ellisse

Hai capito come trovare l'equazione dell'ellisse? Di quali condizioni hai bisogno?

Prova a risolvere questi esercizi e scoprirai se hai bisogno di un ripasso oppure se è tutto chiaro!

Sfida!

Ora che hai visto tutto su come trovare l'equazione di un'ellisse, prova a risolvere la sfida matematica di questa lezione!

Esercizi svolti Condizioni per trovare l'ellisse

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Esercizi Condizioni per trovare l'ellisse - 1

Esercizi Condizioni per trovare l'ellisse - 2

Esercizi Condizioni per trovare l'ellisse - 3

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