Ellisse e retta

Scopri le posizioni reciproche di ellisse e retta, le rette tangenti da un punto esterno e infine la formula di sdoppiamento.

La posizione reciproca fra rette e curve è una parte importante della geometria analitica. Abbiamo visto le posizioni reciproche tra rette, tra rette e parabola e tra rette e circonferenza, facciamo lo stesso anche per l'ellisse. Una retta ed un'ellisse possono essere secanti, tangenti o esterne.
Se conosciamo l'equazione della retta e dell'ellisse basta risolvere il sistema con le due equazioni e analizzare le soluzione per capire la posizione reciproca. Può capitare che non conosciamo, per esempio, l'equazione della retta, ma sappiamo che è tangente e passa per un punto esterno all'ellisse di cui conosciamo le coordinate. In questo caso possiamo applicare la formula di sdoppiamento e trovare l'equazione della retta tangente.

Tramite gli esercizi svolti capirai l'importanza del £$\Delta $£ dell'equazione risolvente il sistema fra retta ed ellisse nell'analisi delle posizioni reciproche fra retta ed ellisse.

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di ellisse e retta

I prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di ellisse e retta sono:

Posizioni reciproche tra ellisse e retta

In quale posizione può trovarsi una retta rispetto ad un'ellisse? Una retta può essere:

  • secante all'ellisse: ci sono due punti di intersezione;
  • tangente all'ellisse: c'è un unico punto di intersezione;
  • esterna all'ellisse: non ci sono punti di intersezione.

Possiamo analizzare le posizioni reciproche fra retta ed ellisse dalle soluzioni del sistema fra l'equazione dell'ellisse e della retta.
Il sistema può essere:

  • Determinato con due soluzioni distinte (se £$\Delta > 0$£ nell'equazione risolvente) e quindi la retta è secante all'ellisse;
  • Determinato con una sola soluzione (se £$\Delta = 0$£ nell'equazione risolvente), perciò la retta è tangente all'ellisse;
  • Impossibile (se £$\Delta < 0$£ nell'equazione risolvente) , allora la retta è esterna all'ellisse.

Rette tangenti da un punto esterno

Dato un punto £$P$£ esterno all'ellisse, per £$P$£ passano due rette tangenti all'ellisse. Per trovare l'equazione di queste rette o i punti di tangenza, risolviamo il sistema fra una generica retta passante per £$P$£ (quindi di equazione £$y-y_P=m(x-x_P)$£) e l'equazione dell'ellisse, imponendo che il £$\Delta$£ dell'equazione risolvente sia nullo, e quindi che il sistema abbia una soluzione unica.

Formula di sdoppiamento

Per calcolare l'equazione di una retta tangente all'ellisse conoscendo l'equazione dell'ellisse e il punto £$P(x;y)$£ di tangenza, possiamo applicare la formula di sdoppiamento:

£$\frac{x \cdot x_0}{a^2}+ \frac{y \cdot y_0}{b^2}=1$£

Esercizi sulle posizioni reciproche tra ellisse e retta

Riesci a capire quale sia la posizione reciproca tra ellisse e retta?

Allenati con questi esercizi: potrebbero essere le domande che ti farà il prof all'interrogazione!

Sfida!

Viene sparato un missile verso il tuo pianeta! Ma tu, grazie alla matematica, sai subito se ti devi preoccupare o meno.

Prova a risolvere la sfida sulle posizioni reciproche tra ellisse e retta!

Esercizi svolti Ellisse e retta

Ecco gli esercizi su Ellisse e retta in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Ellisse. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Aritmetica e Algebra

Esercizi Ellisse e retta - 1

Esercizi Ellisse e retta - 2

Esercizi Ellisse e retta - 3

Saldi con Carta del docente e 18App
Saldi con Carta del docente e 18App