Appunti Seconda prova Maturità 2015 Scientifico – Calcolo combinatorio: combinazioni

15 Jun 2015

La maturità 2015 si avvicina! Sei in ansia per la seconda prova di matematica? Se vuoi prepararti al meglio vai al capitolo maturità guarda le soluzioni e allenati con gli esercizi per prepararti alla seconda prova!

Combinazioni semplici e con ripetizione ti mandano in crisi? Come calcolare le combinazioni quando gli elementi si ripetono? In questo post ti spieghiamo che cos’è una combinazione: la definizione e le applicazioni. L’argomento ti sarà molto utile per la seconda prova di matematica dell’esame di maturità, in particolare per i quesiti.

Cos’è una combinazione? Definizione di combinazione

Stai giocando a Poker Texas Hold’em. All’inizio ti vengono date 2 carte tra le 52 del mazzo. Riesci a contare quante sono le possibili coppie di carte che puoi ricevere?
Cosa vuoi calcolare? Il numero di coppie diverse di carte!
Ma ora ti interessa l’ordine con cui ti vengono date? Assolutamente no! Che una carta arrivi prima o dopo non fa nessuna differenza nel gioco!
Quindi ti interessano le possibili sequenze NON ordinate: le chiamiamo combinazioni.

Definizione di combinazione: una combinazione è una sequenza NON ordinata di un certo numero di elementi.

Due combinazioni sono uguali se hanno gli stessi elementi (anche con ordine diverso).

La differenza tra combinazioni e disposizioni/permutazioni è proprio nell’ordine degli elementi:

• nelle combinazioni non ci interessa l’ordine, ma sono gli elementi;
• nelle disposizioni/permutazioni è importante l’ordine con cui compaiono gli elementi.

Combinazioni semplici

Ecco la formula generale per trovare il numero totale di combinazioni semplici

Il numero di combinazioni semplici (cioè di sequenze non ordinate) di \(n\) elementi presi a gruppi \(k\) è
\( C_{n,k} = \frac{D_{n,k}}{P_k}=\frac{n!}{(n – k)! \cdot k!}\)

Per indicare il numero di combinazioni semplici usiamo il simbolo \({n \choose k}\) che viene chiamato “coefficiente binomiale“. Attenzione! si legge \(n\) su \(k\)

Esercizio con combinazioni semplici

Al SuperEnalotto vengono estratti 6 numeri su un totale di 90 (cioè 6 numeri compresi tra 1 a 90). Quante sono le possibili combinazioni?
Non ci sono ripetizioni: una volta estratto un numero, non lo rimettiamo nel sacchetto.
quindi abbiamo \(n=90\) (i numeri tra 1 e 90) e \(k=6\) (i numeri estratti)
\( C_{90,6} = {90 \choose 6} = \frac{90!}{84! \cdot 6!}=622.614.630\)

Combinazioni con ripetizione

Cosa succede se gli elementi si possono ripetere?
Formula per calcolare il numero di combinazioni con ripetizione:
\( C’_{n,k} = C_{n+k-1,k} = {n + k -1 \choose k}\)
Guarda tutti gli esercizi risolti di combinazioni con ripetizione!