Appunti seconda prova Maturità 2015 Scientifico – Derivate

14 Jun 2015

derivate

Qual è il significato algebrico e geometrico della derivata di una funzione? Impara a cosa servono le derivate. Impara le regole delle derivate fondamentali e il calcolo delle derivate di somme, prodotti, quozienti e composizione di funzioni.

Le derivate sono argomenti fondamentali per l’Esame di Maturità.
Dovevi infatti conoscere le derivate per risolvere la simulazione del 25 Febbraio 2015, sia nel problema 1: una collisione tra meteoriti che nel problema 2: un mappamondo prezioso.
Anche per arrivare alla soluzione della simulazione del 22 Aprile 2015, dovevi sapere le derivate, sia nel problema 1: curva Nord, che nel problema 2: il vaso.
Infine le derivate ti servivano per risolvere i quesiti della simulazione del 22 Aprile 2015: nel quesito 1; e per risolvere le equazioni differenziali devi sapere le derivate e gli integrali: le trovavi nel quesito 2 e nel quesito 3.

Un po’ di storia…

Liebniz o Newton? Chi è il padre delle derivate?
Newton fu il primo a introdurre il concetto di derivata, intorno al 1669, per risolvere problemi come quello del calcolo della velocità istantanea in fisica, ma non pubblicò mai nulla. Liebniz invece fu il primo ad affrontare il calcolo delle derivate con un approccio geometrico. Intorno al 1665 pubblicò le sue scoperte che, essendo più facili da capire, si diffusero velocemente in tutta Europa, prima di quelle di Newton, che non prese bene la notizia e accusò Liebniz di aver copiato le sue scoperte!
Liebniz sosteneva fermamente di essere arrivato alle conclusioni indipendentemente da quelle di Newton. Per dimostrarlo chiese alla Royal Society di Londra (Accademia Nazionale Inglese delle Scienze) di convocare una commissione d’inchiesta per risolvere ufficialmente la questione!
Nel 1712 Liebniz fu accusato ufficialmente di plagio. Povero Liebniz, non era stato molto fortunato, perché Newton, proprio quell’anno, aveva dalla sua il fatto di essere il presidente della Royal Society!

A cosa servono le derivate?

Le derivate servono per capire come cambia una funzione in un punto.
Ma cosa significa cambiamento di una funzione? Come può cambiare?
Una funzione \(f\), in un intervallo, può:
a. Crescere
b. Decrescere
c. Stare ferma, quindi non cambiare
d. Sia crescere che decrescere o stare ferma

Il concetto di cambiamento, quindi di variazione, di una funzione in un punto però, è un po’ più complesso. Quindi prima impara a capire cos’è il cambiamento, la variazione di una funzione in generale, e poi scopri cosa significa misurare la variazione istantanea, quindi in un punto.

Le derivate in 15 minuti

Variazione di una funzione e coefficiente angolare

Prendi una retta. Guarda la lezione di introduzione alle derivate.
Vuoi sapere come varia una funzione. L’equazione di una retta generica è \( y = m \, x + q \) dove:

  • \( q\) è la “quota” quindi l’altezza (cioè il valore in cui la retta incontra l’asse \( y \)) della retta quando \( x = 0 \);
  • \(m\) è il coefficiente angolare, è la pendenza della retta rispetto all’asse \( x\)

Per trovare \( m\) prendiamo due punti della retta:
\( m = \frac{ \text{quanto la curva sale}}{ \text{quanto la curva di sposta sull’asse x}} \)\(= \frac {\text{variazione } y}{\text{variazione } x}\)\(= \frac{\Delta\, y}{\Delta\, x}\)
Ma quando la retta è parallela all’asse \( x\) cosa succede? Scoprilo subito!
Se prendi una retta parallela all’asse \(x\) la \(m=0\)
Infatti se predi i punti \(A (2;2)\) e \(B (4;2)\) e calcoli \( m = \frac{\Delta \, y}{\Delta \, x}\)\( = \frac{2-2}{4-2}=0\)
La funzione è stazionaria.

E se invece di una retta hai una funzione tutta curve? Cosa succede?
Ti rendi conto che la pendenza della retta è legata alla variazione della curva in questo modo:

  • La pendenza è positiva? La funzione cresce
  • La pendenza è negativa? La funzione decresce
  • La pendenza è uguale a \(0\)? La funzione non cresce né decresce

La variazione fra due punti dà sempre delle informazioni utili per conoscere il comportamento della funzione. Ma l’informazione è più utile quando i due punti sono vicini…o quasi coincidenti!
Stiamo quindi provando a vedere cosa succede alla curva se stringiamo l’intervallo fino ad arrivare ad un punto! Le retta non è più secante ma diventa tangente. Quindi la \( m\) della retta tangente in un punto ci dice se la funzione in quel punto cresce, decresce o sta ferma.

Immagina di dover calcolare la \( m\) della retta avendo un solo punto. Come fai? Un bel problema perché le variazioni sull’asse delle \( x\) e sull’asse delle \( y\) sono nulle, quindi entrambe uguali a \( 0\).
\( m = \frac{\Delta \, y}{\Delta \, x}\)\( = \frac{0}{0}\)

Come si risolve la forma indeterminata \( \frac{0}{0}\)?
Ti servono i limiti! Se proprio non te li ricordi guarda la lezione sull’introduzione ai limiti.
Se invece vuoi ripassare per essere certo di sapere proprio tutto sui limiti, vai al capitolo!

Se, avvicinandoci da destra e da sinistra a quel punto, riusciamo a calcolare i due limiti e i due valori che troviamo sono uguali, allora possiamo trovare la tangente della funzione in quel punto. Il valore del limite è proprio la \( m\) che stiamo cercando!

Definizione di derivata

Riassumendo:

  • la derivata serve a capire come cambia la funzione in un punto;
  • il cambiamento di una funzione è descritto nel miglior modo dal coefficiente angolare della retta tangente alla funzione nel punto;
  • il coefficiente angolare, nel caso della retta tangente in un punto, è il limite del rapporto \( \frac{\Delta \, y}{\Delta \, x}\) quando i due punti sono quasi coincidenti, cioè quando la distanza tra due punti è zero.

Quindi?
Prendi una funzione \( f\) e un punto \( P ( x_0; f(x_0) \,)\)
Prendi un numero \( h\) piccolo, e l’intervallo \( [x_0-h,x_0 +h]\) che diventa sempre più piccolo quando più \( h\) si avvicina a zero.

Ora unisci tutte le informazione appena viste e… La derivata è tutto questo!

  • È la \( m\) della retta tangente alla funzione nel punto;
  • È il limite del rapporto incrementale per \( h \to 0\), cioè è la variazione in \( y\) della funzione diviso per la variazione in \( x\), quindi al ridursi dell’ampiezza dell’intervallo \([x_0-h,x_0 +h]\)

In simboli:

\( f’ (x_0) = \lim \limits_{h \to 0} = \frac {f (x_0 + h) – f (x_0)}{x_0 + h – x_0}\)\(= \lim \limits_{h \to 0} \frac {f (x_0 + h) – f (x_0)}{h}\)

come si scrive in simboli!

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