Appunti seconda prova Maturità 2015 Scientifico – Disposizioni

12 Jun 2015

Disposizioni semplici e con ripetizione ti mandano in crisi? Che differenza c’è tra le disposizioni semplici e quelle con ripetizione? Ci sono analogie fra permutazioni e disposizioni?  In questo post ti spieghiamo che cos’è una disposizione: definizione e applicazioni. L’argomento ti sarà molto utile per la seconda prova di matematica dell’esame di maturità, in particolare per i quesiti.

Definizione di disposizione

In quanti modi puoi disporre \( k\) elementi presi da un insieme di \( n\) elementi? Per saperlo calcoli il numero di disposizioni!

Le disposizioni sono sequenze ordinate di \( k\) elementi presi tra \( n\) elementi.

Scopri la differenza tra le combinazioni e disposizioni/permutazioni.
E se non ti ricordi la definizione di permutazione vai alla lezione!

Disposizioni semplici

Una disposizione è semplice quando i  \( k \) elementi di una sequenza ordinata sono diversi.
Immaginiamo di avere un sacchetto con dentro \(n\) elementi. Ogni volta che ne pesco uno NON posso ributtarlo dentro, il sacchetto si svuota man mano che scelgo un elemento della sequenza.
La formula per calcolare il numero di disposizioni semplici di \( k\) elementi presi da un insieme di \( n\) elementi (e quindi \( k≤n\)) è: \( D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}=n \cdot (n-1) \cdot … \cdot (n-k+1)\)

Esercizio svolto con disposizione semplice

Quante parole di 4 lettere dell’alfabeto italiano esistono?
\( D_{21,4}=21 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \)
Guarda tutta la spiegazione dell’esercizio!

Disposizioni con ripetizione

Nelle disposizioni con ripetizione abbiamo un insieme di \(n\) elementi totali e i \(k\) elementi che vogliamo disporre possono ripetersi.

Immaginiamo di avere un sacchetto con dentro gli \(n\) elementi. Ogni volta che ne pesco uno posso ributtarlo dentro. Quindi ogni volta che estraggo un elemento il sacchetto non si svuota ma ha sempre dentro gli \(n\) elementi iniziali.

La formula per calcolare il numero di disposizioni con ripetizione è \(D’_{n,k}=n^k\)

Un esempio di disposizione con ripetizione è il lancio ripetuto di un dado: se al primo lancio ho sei possibili risultati, al secondo ho sempre sei possibili risultati. Infatti se al primo lancio esce 3 può uscire anche al secondo.

Esercizio svolto con disposizione con ripetizione

Lanci il dado 4 volte. quanti sono i possibili risultati?
\(D’_{6,4}=6^4=1.296\)
Guarda tutta la spiegazione dell’esercizio!

Permutazioni e disposizioni

Mentre nelle permutazioni semplici prendiamo sempre tutti gli elementi e ne scambiamo l’ordine, nelle disposizioni semplici prendiamo solo una parte degli \(n\) elementi totali.
Se la lunghezza della disposizione è uguale al numero degli elementi, cioè se \(k=n\), allora la disposizione diventa una permutazione!