Appunti seconda prova Maturità 2015 Scientifico – Integrali definiti e integrali indefiniti

10 Jun 2015

integrali-definiti-integrali-indefiniti

Negli esami di Maturità degli anni passati gli integrali definiti e gli integrali indefiniti sono stati argomenti molto frequenti. In questo articolo trovi la spiegazione completa per arrivare preparato alla seconda prova di matematica per la Maturità 2015 del Liceo Scientifico.

Il concetto di integrale

Che cosa sono gli integrali? E soprattutto a cosa servono?
In matematica, così come anche in fisica – e in particolare nelle prove d’Esame di Maturità – può capitare di dover calcolare l’area che sta sotto alla curva descritta da una funzione. Gli integrali ci permettono di fare esattamente questo. Approfondisci lalezione sul concetto di integrale.
Ad esempio nella simulazione del 22 Aprile 2015 nel quesito 6 per calcolare il volume di un solido che non conosci (e quindi che non sia un cilindro, un cono, un parallelepipedo ecc.) devi risolvere un integrale definito.

Definizione di integrale definito

Integrali definiti e indefiniti: qual è la differenza?
L’integrale definito di una funzione è scritto come \(\int_a^b f(x) dx\), ed è uguale ad un numero.

Integrali e aree non regolari: quale integrale usare?
Ecco la risposta: usi l’integrale definito quando:

  • devi calcolare un’area non regolare;
  • devi risolvere equazioni differenziali.

Definizione di integrale indefinito

L’integrale indefinito di una funzione è un insieme di funzioni. E’ l’insieme di tutte le funzioni primitive. Quindi se \(\int f(x) dx = G(x) + c\) con \(c\) costante, \(G(x)+c\) è l’insieme delle funzioni primitive.

Cos’è una funzione primitiva, come si applica al calcolo degli integrali indefiniti?
Una funzione primitiva è quella che ha come derivata la funzione che vogliamo integrare
. Quindi la funzione \(G(x)\) è la primitiva di\(f(x)\) se \(G′(x)=f(x)\)

quando si usa l’integrale indefinito? Usi l’integrale indefinito per calcolare gli integrali definiti. Guarda tutti gli esercizi svolti!

Integrali indefiniti: integrazione delle funzioni elementari

Abbiamo riassunto in una tabella tutte le formule per il calcolo dell’integrale di funzioni elementari come le funzioni potenza, esponenziali, logaritmiche, seno, coseno, tangente e cotangente.
integrali indefiniti

Soluzione del quesito 6 della simulazione del 22 Aprile 2015

La traccia d’Esame affermava: “La base di un solido, nel piano \(Oxy\), è il cerchio avente come centro l’origine e raggio 3. Le sezioni del solido perpendicolari all’asse \(x\) sono quadrati.
Calcolare il volume del solido.”

La soluzione

La base del solido è un cerchio di raggio \( 3 \) con centro nell’origine. Quindi il suo bordo è la circonferenza di equazione \( x^2+y^2=9 \). I piani perpendicolari all’asse \( x \) intersecano la circonferenza in due punti di ordinata \( y=\pm \sqrt{9-x^2} \) che formano una corda di lunghezza \( 2\sqrt{9-x^2} \). Le sezioni sono quadrate quindi l’area di ogni sezione è \( (2\sqrt{9-x^2})^2=4(9-x^2) \)

Il volume del solido è quindi uguale a \(V=\int_{-3}^{3} 4(9-x^2)\,dx=[36x-4\frac{x^3}{3}]^{3}_{-3}=144\)

Saldi con Carta del docente e 18App
Saldi con Carta del docente e 18App