Appunti seconda prova Maturità 2015 Scientifico – Trigonometria e risoluzione dei triangoli rettangoli

17 Jun 2015

trigonometria-triangoli-redooc

Gli appunti di trigonometria che aspettavi. Come risolvere i problemi sui triangoli rettangoli con i due teoremi di trigonometria dei triangoli rettangoli, trova i valori di tutti i lati e di tutti gli angoli. 

La sfida

Stai costruendo il tuo cinema privato in camera!
Hai comprato un nuovo proiettore che ha l’angolo visuale uguale a \(120°\).
Vuoi proiettare l’immagine sul muro largo 6m.
Ora devi sono capire a che distanza dallo schermo bisogna mettere il proiettore in modo che l’immagine occupi tutto il muro.
Come puoi fare?

 

Trigonometria

Cos’è la trigonometria? È la goniometria applicata allo studio dei triangoli. Risolvere un triangolo significa trovare i valori di tutti i lati e tutti gli angoli.
Ripassa le funzioni goniometriche e le formule goniometriche!
Per farlo devi utilizzare le proprietà di seno e coseno e le equazioni e disequazioni goniometriche.

Primo teorema dei triangoli rettangoli

I primi triangoli che devi imparare a risolvere sono i triangoli rettangoli.
L’obiettivo è trovare le relazioni tra le misure dei lati e quelle degli angoli, utilizzando i valori di seno e coseno.

trigonometria-triangoli-rettangoli

Devi costruire la circonferenza goniometrica (quella con centro nell’origine e raggio 1) e disegnare il triangolo \(ABC\) facendo coincidere il punto \(A\) con l’origine degli assi.
Il punto \(P\) della circonferenza goniometrica ha coordinate \(P (cos \alpha; sen \alpha) \) e il punto \(H\), che è la proiezione sull’asse \(x\), ha coordinate \(H (cos \alpha; 0)\)
I lati del triangolo \(APH\) misurano:

  • \(AP=1\)
  • \(PH= sen \alpha\)
  • \(AH = cos \alpha \)

I due triangoli \(APH\) e \(ABC\) sono simili perché i tre triangoli sono congruenti.
Allora i lati dei due triangoli sono in proporzione:
\( AP: AB = AH: AC\)
Sai che \(AP=1\) e \(AH = cos \alpha \) quindi la proporzione diventa:
\( 1 : AB = cos \alpha : AC \)
Quindi \(AC = AB cos \alpha \)
Scrivi la proporzione per gli altri due lati: \( AP : AB = PH : BC \)
Ma \( PH = sen \alpha \) quindi la proporzione diventa \( 1 : AB = sen \alpha : BC \) e quindi \( BC = sen \alpha\)
Il triangolo \(ABC\) è un triangolo rettangolo qualsiasi e abbiamo visto che:

  • \(AC = AB cos \alpha \)
  • \( BC = sen \alpha \)

cioè un triangolo rettangolo, il cateto è uguale al prodotto tra l’ipotenusa e il seno dell’angolo opposto al cateto oppure al prodotto tra l’ipotenusa e il coseno dell’angolo adiacente al cateto.

cateto = ipotenusa \( \cdot\) seno dell’angolo opposto
cateto = ipotenusa \( \cdot\) coseno dell’angolo angolo

Questo è il primo teorema dei triangoli rettangoli :)

Secondo teorema dei triangoli rettangoli

cateto 1 = cateto 2 \( \cdot\) tangente dell’angolo opposto al cateto 1
cateto 2 = cateto 1 \( \cdot\) cotangente dell’angolo opposto al cateto 2

Guarda tutta la spiegazione del secondo teorema dei triangoli.

Risoluzione di un triangolo rettangolo

Il triangolo rettangolo ha ipotenusa \( c = 10 \) e l’angolo \( \alpha = \frac { \pi }{6}\).
Risolvi il triangolo, troviamo cioè i valori degli altri elementi, ovvero \( \beta\),\( a\),\( b\):
\( \beta = \frac { \pi}{2} – \alpha = \frac { \pi}{3} \)
\( a = c \cdot sen \frac{ \pi}{6} = 10 \cdot \frac {1}{2} = 5 \)
\( b = c \cdot cos \frac{ \pi }{6} = 10 \cdot \frac{ \sqrt {3}}{2} = 5 \sqrt{3}\)

Guarda tutti gli altri esercizi risolti e spiegati!

Se sei curioso di sapere come finisce la sfida…vai qui!

 

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