I quesiti della simulazione di seconda prova del 22 aprile

23 Mar 2016

soluzione quesiti della simulazione 22 aprile

Nel post I 5 step che DEVI seguire per risolvere la seconda prova di maturità abbiamo descritto come affrontare l’analisi e la soluzione dei problemi di Seconda Prova.

Qui sotto ci sono le soluzioni degli altri 5 quesiti… Tu li hai risolti così?


Quesito 2:

Data l’equazione differenziale del primo ordine \(y’=\frac{1}{2x-1}\) determinare la soluzione del problema di Cauchy, tenendo conto della condizione iniziale \(y(1)=0\).

Soluzione:

Per risolvere basta integrare \(y’=\frac{1}{2x-1}\) a destra e sinistra. Otteniamo:

\( y(x)=\int {\frac{1}{2x-1} dx}= \) \( \frac{1}{2} \int {\frac{2}{2x-1}}= \) \( \frac{1}{2} \ln \left| 2x-1 \right| +c \)

Troviamo ora la costante \( c \) imponendo le condizioni del problema di Cauchy:

\( y(1)=0 \Rightarrow y(1)=\frac{1}{2} \ln1 +c=0+c \Rightarrow c=0 \)

La funzione quindi è \( y(x)=\frac{1}{2} \ln \left| 2x-1 \right| \). Questa però non è la soluzione del problema di Cauchy perché vogliamo che la funzione sia continua mentre \( y(x)=\frac{1}{2} \ln \left| 2x-1 \right| \) non è continua in \( x=\frac{1}{2} \). Prendiamo quindi la parte di funzione che passa per \( (1;0) \) cioè \( y(x)=\frac{1}{2} \ln \left( 2x-1 \right) \)


Quesito 4:

Verificare il carattere della serie \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2+7n+12} \) e, nel caso in cui sia convergente, determinare la sua somma.

 

Soluzione:

Per studiare il carattere della serie usiamo la condizione necessaria per la convergenza di una serie \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} \) : se la serie converge allora il limite per \( n \) che tende a \( +\infty \) di \( a_n= \frac{1}{n^2+7n+12} \) tende a \( 0 \). Controlliamo questa condizione:

\( \lim \limits_{n\to + \infty} \frac{1}{n^2+7n+12}= \) \( \left[ \frac{1}{+\infty} \right]= 0\)

Quindi la serie può convergere.

Per calcolare la somma della serie scriviamo \(a_n=\frac{1}{n^2+7n+12}=\frac{1}{(n+3)(n+4)}= \) \( \frac{A}{n+3}+\frac{B}{n+4}\)

Troviamo A e B che soddisfano questa condizione:

\(\frac{A}{n+3}+\frac{B}{n+4}=\frac{n(A+B)+4n+3B}{(n+3)(n+4)}\) Allora:

\(\begin{cases}A+B=0 \\ 4A+3B=1 \end{cases}\) \( \rightarrow \begin{cases}A=1 \\ B=-1 \end{cases}\)

Quindi:

\( a_{n}= \frac{1}{n^2+7n+12}= \frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}\)

Calcoliamo ora la somma fino a un certo indice \( k \) cioè la somma dei primi \( k \) termini di \( a_n \)

\( s_{k}= a_0+a_1+a_2+…+a_{k-1}+a_k= \) \( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+3} – \frac{1}{k+4}\)

e vediamo che i termini in mezzo si semplificano quindi rimane\( s_{k}=\displaystyle\sum_{n=0}^{k} a_{n}= \frac{1}{3} – \frac{1}{k+4}\)

Allora la somma della serie è il limite di queste somme \( s_{k}\) per \( k \to +\infty \):

\(S=\lim \limits_{k \to + \infty} \frac{1}{3}-\frac{1}{k+4}= \) \( \frac{1}{3}\)

La somma della serie è quindi \(\frac{1}{3}\)


Quesito 5

Per progettare un sito web è necessario generare dei codici unici di accesso. Si vogliono utilizzare, a tale scopo, due lettere maiuscole dell’alfabeto inglese seguite da una serie di numeri compresi fra 0 e 9. Tutti i codici di accesso dovranno avere lo stesso numero di cifre ed è ammessa la ripetizione di lettere e numeri.

Qual è il numero minimo di cifre da impostare in modo da riuscire a generare almeno 5 milioni di codici di accesso diversi? Giustifica la tua risposta.

Soluzione:

Dati:
Alfabeto inglese: 26 lettere, di cui devo sceglierne 2;

I numeri da 0 a 9 sono in tutto 10, e dobbiamo trovarne \( x \)

Dobbiamo usare quindi le disposizioni con ripetizione.

Avrai \(26^2\) modi di combinare due lettere maiuscole dell’alfabeto inglese, e \(10^x\) modi di combinare \( x \) numeri fra 0 e 9.

Ogni disposizione di 2 lettere accompagna una disposizione di \( x \) cifre, quindi dobbiamo risolvere: \(26^2 \cdot 10^x\). Questo numero deve essere almeno 5 milioni=\(5 \cdot 10^6\), quindi deve essere \( \ge 5 \cdot 10^6\).
In conclusione dobbiamo risolvere la disequazione:

\(26^2 \cdot 10^x \ge 5 \cdot 10^6 \) \( \Rightarrow 10^x \ge \frac{5 \cdot 10^6}{26^2} \Rightarrow \) \( x \ge log(\frac{5 \cdot 10^6}{26^2}) \Rightarrow \) \( x \ge log(\frac{5}{676})+log(10^6) \rightarrow \) \( x \ge log(\frac{5}{676})+6 \sim 3,869\)

Quindi devi avere almeno 4 cifre fra \(0\) e \(9\) per poter generare almeno 5 milioni di codici di accesso diversi.


Quesito 7

Trovare l’equazione del piano tangente alla superficie sferica avente come centro l’origine e raggio 2, nel suo punto di coordinate \((1,1,z)\) con \(z\) negativa.

Soluzione:

Dati:

  • il centro della sfera è \( C(0,0,0) \);
  • il raggio della sfera è\( r=2 \);
  • la sfera e il piano sono tangenti in \(P(1,1,z)\) con \(z<0\)

Tesi:

Trovare l’equazione del piano.

Per trovare la terza coordinata del punto \(P\):

– scriviamo l’equazione della sfera con la formula \(S: (x-x_C)^2+(y-y_c)^2+(z-z_C)^2=r^2\) che nel nostro caso è: \(x^2+y^2+z^2=4\)

– controlliamo l’appartenenza del punto alla sfera e troviamo \(z_P\): \((x_P)^2+(y_P)^2+(z_P)^2=4 \rightarrow 1+1+z^2=4 \rightarrow z=\pm \sqrt{2}\). Siccome ci interessa il punto con \(z<0\), allora \(P(1,1,-\sqrt{2})\)

Sappiamo che il piano è tangente alla sfera, quindi il vettore che unisce il punto \(P\) al centro \(C\) della sfera è perpendicolare al piano: è quindi un suo versore. Calcoliamolo: \(v=P-C \rightarrow v=(x_P-x_C,y_P-y_C,z_P-z_C)=v(1,1,-\sqrt{2})\)

Scriviamo l’equazione del piano come \(\pi: ax+by+cz+d=0\), dove \((a,b,c)\) è un vettore perpendicolare al piano. Il vettore \(v\) che  abbiamo appena trovato è un vettore perpendicolare al piano, poiché il piano è tangente alla sfera nel punto P. Poi, per trovare il coefficiente \(d\) controlliamo l’appartenenza del punto P:

\(\pi: x+y-\sqrt{2}z+d=0\) \(\rightarrow x_P+y_P-\sqrt{2}z_P+d=0 \rightarrow 1+1+2+d=0 \rightarrow d=-4\)

Il piano cercato ha quindi equazione: \(x+y-\sqrt{2}-4=0\)

quesito-7


Quesito 10

In una stazione ferroviaria, fra le 8 e le 10 del mattino, arrivano in media ogni 20 minuti due treni.
Determinare la probabilità che in 20 minuti:
a) non arrivi alcun treno;
b) ne arrivi uno solo;
c) ne arrivino al massimo 4.

Soluzione:

Gli eventi che devi analizzare sono tutti indipendenti e si verificano in un dato intervallo di tempo. La distribuzione di probabilità che seguono, quindi, è quella di Poisson, che ha legge:

\(P_\lambda(X=x)=e^{-\lambda}\frac{(\lambda)^x}{x!}\) dove \( X \) è il nome della variabile aleatoria di Poisson e \( x \) è il numero di successi. \( \lambda \) è la media di successi. Nel nostro caso \( \lambda = 2 \)

  • Determinare la probabilità che in 20 minuti non arrivi alcun treno: il numero di successi è \( x=0 \), quindi abbiamo:

\( P_\lambda(X=0)=e^{-2}\frac{(2)^0}{0!}=e^{-2}\simeq 14\% \)

  • Determinare la probabilità che in 20 minuti ne arrivi uno solo: il numero di successi è \( x=1 \), quindi abbiamo:

\( P_\lambda(X=1)=e^{-2}\frac{(2)^1}{1!}=2e^{-2} \simeq 27\% \)

  • Determinare la probabilità che in 20 minuti ne arrivino al massimo 4: il numero di successi è \( x \le 4 \), quindi abbiamo

\( P_\lambda(X\le 4)=\) \( P_\lambda(X=0)+P_\lambda(X=1)+P_\lambda(X=2)+P_\lambda(X=3)+P_\lambda(X=4)=\) \( =e^{-2}+2e^{-2}+e^{-2}\frac{(2)^2}{2!}+e^{-2}\frac{(2)^3}{3!}+e^{-2}\frac{(2)^4}{4!} \) \( =e^{-2}+2e^{-2}+2e^{-2}+\frac{4}{3}e^{-2}+\frac{2}{3}e^{-2}=7e^{-2} \simeq 94,7 \% \)

FOCUS:

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