Simulazione di seconda prova maturità 2016: quesiti 1 e 6

29 Jan 2016

simulazione di seconda prova maturità soluzione quesito 1 e 6

La simulazione di seconda prova del 10 dicembre 2015 era composta da 2 problemi e 10 quesiti. Vuoi sapere come risolvere i quesiti della simulazione di seconda prova del 10 dicembre 2015?

Il MIUR ha pubblicato la prima simulazione di seconda prova di maturità per il liceo scientifico di questo anno scolastico. Redooc non poteva esimersi dall’aiutare gli studenti offrendo tutte le soluzioni di questa simulazione di seconda prova (problemi + quesiti).
Ma c’è solo la soluzione? Certo che no. In puro stile Redooc, trovi la video-soluzione di tutti i quesiti divisi per argomento, quello necessario per la risoluzione, e dei due problemi.
Oggi vediamo la traccia della soluzione dei quesiti risolvibili con probabilità e calcolo combinatorio. Partiamo da questi perché sono per molti due argomenti “spauracchio” che pochi studenti si sentono di affrontare nella seconda prova di maturità. In realtà sono molto semplici da risolvere, basta solo sapere dove mettere le mani.

Trovi tutte le soluzioni, con video-lezioni ed appunti, nella nostra nuova sezione dedicata all’esame di Maturità

Come risolvere il quesito 1

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

Testo del quesito 1

Lanciando una coppia di dadi cinque volte qual è la probabilità che si ottenga un punteggio totale maggiore di sette almeno due volte?

Soluzione del quesito 1

Negli esercizi di probabilità, la prima cosa da fare (e forse, la più importante) è schematizzare la situazione. Qui abbiamo due dadi che vengono lanciati contemporaneamente cinque volte. Fermiamoci un attimo. Osserviamo che i cinque lanci sono tutti indipendenti e in pratica sono la ripetizione del primo lancio. Bene. Allora ci basta sapere cosa succede in un lancio e poi replicare la situazione per cinque volte.
In un lancio di una coppia di dadi, quanti possibili risultati ci sono? Beh il primo dado può avere sei possibili risultati, così come il secondo. Ma i due risultati sono indipendenti. Quindi i casi possibili, cioè i possibili esiti del lancio di una coppia di dadisono \( 6\cdot 6 = 36 \). Ma a noi interessano solo le coppie che danno un punteggio maggiore di sette.
Attenzione qui: nel testo c’è scritto maggiore e non maggiore o uguale. È importante quindi contare quanti sono i casi favorevoli. Ti suggerisco di fare una tabella per contarli tutti (come abbiamo fatto nel video). I casi favorevoli sono \(15\) quindi la probabilità che in un lancio il punteggio totale sia maggiore di sette è \(p=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\).
Ma in cinque lanci vogliamo che ci siano almeno due volte in cui il punteggio sia maggiore di sette. Ecco l’altra parolina magica: almeno. In probabilità, almeno significa \(\ge \) quindi se l’evento si verifichi “almeno due volte” si traduce con \(\ge 2\).
Occorre definire una variabile aleatoria. Noi vogliamo contare il numero di volte in cui il punteggio sia maggiore di sette. Questo è il nostro “successo”. Se contiamo \(1\) ogni volta che abbiamo un successo, vogliamo avere un numero di successi \(\ge 2\). Il modo migliore è quindi definire la variabile aleatoria \(X_{5}\) che conta quante volte ho un successo, cioè è uscito un punteggio maggiore di sette, in cinque lanci. Qual è la distribuzione di \(X_{5}\)? Questa è una variabile aleatoria binomiale di parametro \(p=\frac{5}{12}\). Scritto bene, \(X_5 \simeq B\left(5,\frac{5}{12}\right)\).
Vogliamo allora calcolare \(P(X_5 \ge 2)\). Ricordiamo come calcolare \(P(Z = k)\), con \(Z\simeq B(n,p)\):

\(P(Z=k)={n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}\)

Allora \(P(X_5 \ge 2)=P(X_5 =2)+P(X_5 =3)+P(X_5 =4)+P(X_5 =5)\)
Ma c’è anche un altro modo per risolvere il quesito. Guarda il video per scoprire la soluzione completa del quesito 1. Vai a scoprire come risolverlo più velocemente!
Ma qual è la soluzione del quesito 1? Eccola qui: \(P(X_5 \ge 2)=69\%\)

Come risolvere il quesito 6

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

Testo del quesito 6

Risolvere la seguente equazione: \(6\cdot {x \choose 5} = {x+2 \choose 5}\)

Soluzione del quesito 6

Risolvere un’equazione alla maturità? Ebbene sì. In questa equazione però c’è il coefficiente binomiale (o binomio di Newton). Se non ti ricordi la sua definizione o come si calcola il binomio di Newton non puoi risolvere il quesito 6. Se invece sai come calcolarlo, questo quesito è facilissimo.
Qual è la formula del binomio di Newton? Eccola: \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
dove \( n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 3\cdot 2 \cdot 1\), e si legge “n fattoriale”.
Ora basta scrivere l’equazione del testo usando questa definizione. Attenzione però: il coefficiente binomiale \({n\choose k} \) è definito solo se \(n\ge k\). Ricorda quindi di mettere le condizioni di esistenza, serviranno in seguito…
L’equazione del quesito 6 diventa allora:

\( 6\cdot \frac{x!}{5!(x-5)!}=\frac{(x+2)!}{5!(x-3)!}\)

E ora, via di semplificazioni! Non sto qui a fare tutti i conti, li puoi trovare nel video con la soluzione completa del quesito 6, ma voglio dirti qual è il valore di \( x\) che risolve l’equazione: \( x=7\)

Vuoi arrivare preparato alla seconda prova di maturità? Allenati con le nostre spiegazioni delle simulazioni di seconda prova. Trovi tutti i problemi e i quesiti svolti passo passo, fino alla soluzione!

Buon allenamento con Redooc

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