Soluzione Problema 1 – Maturità 2015

18 mar 2016

Soluzione Problema 1 punto 1 Maturità 2015

Maturità 2016 alle porte, allenati con i testi e le soluzioni delle cinque sessioni della maturità dello scorso anno!

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• dominio di una funzione;
• grafico di una retta;
• grafico di un’iperbole;
• derivata di una potenza;
• calcolo della derivata di un quoziente;
• massimi e minimi.

Testo punto 1 problema 1:

Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all’estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con \(f(x) \) la spesa totale nel mese e con \(g(x) \) il costo medio al minuto: 

1. individua l’espressione analitica delle funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) e rappresentale graficamente; verifica che la funzione \( g(x) \) non ha né massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell’andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano.

Soluzione Problema 1 punto 1:

• \( x \) sono i minuti al mese;
• \( 10 euro \) è il costo fisso mensile;
• \( 10 cent= \frac{1}{10} euro= 0,1 euro \);
• \( f(x) \) descrive la spesa totale al mese, in euro, quindi sarà pari ai 10 euro di costo fisso, sommati ai 10 centesimi al minuto: \( f(x)=10+0,1x \)
• \( g(x) \) descrive il costo medio al minuto, quindi l’espressione della funzione è: \( g(x)= \frac{f(x)}{x}=\frac{10+0,1x}{x} \)

Facciamo il grafico delle due funzioni e commentiamolo alla luce della situazione concreta che rappresentano.

Troviamo il dominio della funzione \( f(x) \).
Prima di tutto ci chiediamo quanti minuti ci sono in un mese: \( 30 \, giorni \cdot 24 \, ore \cdot 60 \, minuti = 43200 \, minuti \). Inoltre non esistono minuti negativi, quindi il dominio di \( f \) è: \( D_f=[0, 43200] \).
Commentiamola: \( f \) rappresenta il costo mensile, se parliamo per zero minuti, paghiamo solo il costo fisso di 10 euro, che è quindi il minimo della funzione, se parlassimo continuamente tutti i 43200 minuti del mese, invece, pagheremmo \( f(43200)=10+0,1 \cdot 43200=4330 \, euro \), che è quindi il massimo assoluto della funzione \( f(x) \). In conclusione,  il costo mensile aumenta linearmente a seconda dei minuti di chiamata effettuati.
Abbiamo detto “se parlassimo continuamente tutti i 43200 minuti del mese” cosa significa? Normalmente passi un mese al telefono o fai varie telefonate da alcuni minuti? Immagino faccia più telefonate da alcuni minuti, quindi la funzione che descrive al meglio la situazione, è una funzione “a scala”, definita a tratti, dove un piccolo tratto di retta descrive i minuti di seguito fatti durante ogni telefonata. Supponiamo per semplicità di parlare tutto il mese, giorno e notte, di seguito, così la funzione sarà più semplice da analizzare e conforme a quelle che sono le richieste successive del problema.

Il dominio della funzione \( g(x) \) è lo stesso della funzione \( f(x) \), ma con \( x=0 \) escluso perché non si può dividere per zero! Quindi \( D_g=(0, 43200) \).

Calcoliamo la derivata di \( g \): \( g'(x)=\frac{0,1 \cdot x -(10+0,1 \cdot x)\cdot 1}{x^2}=-\frac{10}{x^2} \)
Per trovare i massimi ed i mini relativi dobbiamo studiare il segno della derivata prima:

\( g'(x) \ge 0 \Rightarrow -\frac{10}{x^2} \ge 0 \), \( 10 > 0 \) e \( x^2 >0 \) per ogni \( x \) reale. Quindi \( g'(x) \) è sempre negativa e non si annulla mai, ciò significa che \( g(x) \) è sempre decrescente e non ha né massimi né minimi relativi interni al dominio.

Ha però un minimo assoluto all’estremo del dominio, infatti in \( x= 43200 \) il costo medio è il minore che si possa raggiungere.

Commentiamo la funzione: \( g(x) \) rappresenta il costo medio delle chiamate in un mese, è una funzione decrescente, quindi più minuti parli in un mese, più ammortizzi il costo fisso di 10 euro del piano tariffario. Questo però non vuol dire che più parli, meno spendi!

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• dominio di una funzione;
• grafico di una retta;
• grafico di un’iperbole;
• derivata di una potenza;
• calcolo della derivata di un quoziente;
• massimi e minimi.

 

Soluzione punto 2 problema 1 Maturità 2015

 

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• calcolo dei limiti;
• asintoti verticali.

Testo punto 2 problema 1:

Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all’estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con \(x\) i minuti di conversazione effettuati in un mese, con \(f(x) \) la spesa totale nel mese e con \(g(x) \) il costo medio al minuto: 

1. individua l’espressione analitica delle funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) e rappresentale graficamente; verifica che la funzione \( g(x) \) non ha né massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell’andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano.
2. Detto \( x_0 \) il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina \( x_1 \) tale che: \( g(x_1)=\frac{g(x_0)}{2} \) Traccia il grafico della funzione che esprime \( x_1 \) in funzione di \( x_0 \) e discuti il suo andamento. Che significato ha il suo asintoto verticale?

Soluzione punto 2 problema 1:

Scriviamo l’espressione della funzione \( g(x_1) \) ricavandola da \( g(x) \):

\( \frac{10}{x_1}+0,1=\frac{10}{2x_0}+\frac{0,1}{2} \\ x_1=\frac{200 x_0}{100-x_0} \)

Quindi: \( g(x_1)=\frac{200 x_0}{100-x_0} \) ha dominio \( [0,100) \cup (100, 43200) \)

Cerchiamo gli asintoti nei punti critici del dominio, quindi in \( x=100 \):

\( \lim\limits_{x_0 \to 100} \frac{200 x_0}{100-x_0} = +\infty \)

Quindi \( x_0=100 \) è un asintoto verticale.
L’asintoto verticale significa che \( x_1 \) aumenta all’aumentare di \( x_0 \), fino all’asintoto \( x_0 =200 \), 100 è la soglia in minuti entro la quale è possibile dimezzare il costo medio dei minuti già consumati.

 

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• calcolo dei limiti;
• asintoti verticali.

 

Soluzione punto 3 problema 1 Maturità 2015

 

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• funzioni polinomiali;
• equazione di una parabola;
• calcolo degli integrali;
• area sottesa da una curva;
• percentuali;
• proporzioni.

Testo punto 3 problema 1:

Sul sito web l’operatore telefonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale telefonico nella zona di tuo interesse:

 

La zona è delimitata dalla curva passante per i punti A, B e C, dagli assi \(x\) e \(y\), e dalla retta di equazione \(x=6\); la porzione etichettata con la “Z”, rappresenta un’area non coperta dal segnale telefonico dell’operatore in questione.

3. Rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, verificando che il suo grafico passi per i punti A, B e C. Sul sito web dell’operatore compare la seguente affermazione: “nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 96% del territorio”: verifica se effettivamente è così.

Soluzione punto 3 problema 1:

Una funzione polinomiale di secondo grado è una funzione del tipo \( y=ax^2+bx+c \), e quindi è l’equazione di una parabola. Osservando la figura possiamo dire che è una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle \( y \) e concavità verso il basso. Sappiamo che passa per i punti A, B e C, quindi possiamo trovare l’equazione risolvendo il sistema con l’appartenenza dei tre punti, cioè sostituendo le coordinate dei tre punti nell’equazione generica della parabola.

I tre punti sono \( A(0;2) \), \( B(2;\frac{7}{2}) \), \( C(4;4) \)

\( \begin{cases} c=2 \\ \frac{7}{2}=4a+2b+2 \\ 4= 16a+4b+2  \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c=2 \\ a=-\frac{1}{8} \\ 4b=3-8 \left(- \frac{1}{8} \right)  \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=-\frac{1}{8} \\ b=1 \\ c=2 \end{cases} \)

Quindi l’equazione della parabola è \( y= -\frac{1}{8}x^2+x+2 \). Per verificare che è esattamente quella corretta e che non abbiamo sbagliato i calcoli possiamo sostituire i tre punti uno ad uno e otterremo un’identità.

L’area sottesa dalla parabola che ci interessa è quella delimitata dal grafico della parabola, l’asse \(y\), di equazione \( x=0 \), la retta di equazione \( x=6 \), e l’asse delle \(x\). Per calcolarla risolviamo l’integrale:

\( A_P=\int_0^6 \left( -\frac{1}{8}x^2+x+2 \right) dx = \left[-\frac{1}{8} \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x \right]_0^6 \) \( =-9+18+12=21 \ km^2 \)

L’area della zona “Z” è un triangolo di base \( 1 \ km \) e altezza \(1 \ km\), quindi l’area è: \( A_Z= \frac{b \cdot h}{2}=\frac{1 \cdot 1}{2}=\frac{1}{2}=0,5 \ km^2 \)

Calcoliamo \( A_Z \) in percentuale risolvendo la seguente proporzione: \(\frac{1}{2}: 21= x:100 \) Quindi: \( x=\frac{50}{21}=2,38 \ \% \)

In conlusione, non è vero che la zona è coperta dal segnale per il 96% perché \( 100 \ % -2,38 \ % =97,62 \ % \). Quasi il 98% del territorio è coperto dal segnale, e non il 96%!

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• funzioni polinomiali;
• equazione di una parabola;
• calcolo degli integrali;
• area sottesa da una curva;
• percentuali;
• proporzioni.

 

Soluzione punto 4 problema 1 Maturità 2015

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• rette;
• continuità di una funzione;
• calcolo degli asintoti di una funzione;
• derivabilità e punti di non derivabilità;
• derivata di una funzione potenza;
• calcolo della derivata di un quoziente;
• massimi e minimi di una funzione.

Testo punto 4 problema 1

L’operatore di telefonia modifica l piano tariffario, inserendo un sovraprezzo di 10 centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi 500 minuti.

4. Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \), riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione \( g(x) \) e della sua derivata e spiegane il significato nella situazione concreta.

Soluzione punto 4 problema 1

Troviamo la nuova espressione per la funzione \( f(x) \) e commentiamola.

Il sovrapprezzo di 10 centesimi dopo il minuto 500 è dato da: \( 0,1(x-500) \)

La nuova funzione, quindi, è definita a tratti:
\( f(x)= \begin{cases} 10+0,1 x \quad se \ 0 \le x \le 500  \\ f(500)+0,2(x-500) \quad \ se \ x>500 \end{cases} \)

Quindi: \( f(x)= \begin{cases} 10+0,1 x \quad se \ 0 \le x \le 500  \\ 0,2x-40 \quad se \ x > 500 \end{cases} \)

La funzione \( f(x) \) è continua perché unione di due rette, ma non è derivabile in \(x=500 \) infatti:

\( f'(x)= \begin{cases}0,1 \quad \ se \ 0 \le x \le 500 \\ 0,2  \quad se \ x >500 \end{cases} \). Perciò:

\(f'(500)^- =0,1 \ne 0,2=f'(500)^+ \). Quindi \( x=500 \) è un punto angoloso.

Il grafico della funzione è:

La funzione \( g \) diventa:

\( \begin{cases} \frac{10}{x}+0,1 \quad se \ 0 < x \le 500 \\ -\frac{40}{x}+0,2 \quad  \ se \ x>500 \end{cases} \)

La funzione è continua nel suo dominio \( (0;+ \infty) \), infatti \( \lim\limits_{x \to 550^-} \frac{10}{x}+0,1 =0,12=\lim\limits_{x \to 550^+} -\frac{40}{x}+0,2 \) e inoltre \( g(500)=0,12 \).

Cerchiamo gli asintoti della funzione nel punto critico del dominio, cioè \( x=0 \):

\( \lim\limits_{x \to 0} \left( \frac{10}{x}+0,1 \right)=+ \infty \) quindi \( x=0 \) è un asintoto verticale.

\( \lim\limits_{x \to \infty} \left( -\frac{40}{x}+0,2 \right)= 0,2 \) quindi \( y=0,2 \) è un asintoto orizzontale.

Calcoliamo ora la derivata di \( g \) per cercare eventuali punti di massimo o minimo:

\( g'(x)=\begin{cases} -\frac{10}{x^2} \quad se \ 0 < x \le 500 \\ \frac{40}{x^2} \quad  \ se \ x> 500 \end{cases} \)

La derivata \( g'(x) \) non si annulla mai e presenta in \( x=500 \) un punto critico, infatti:

\( \lim\limits_{x \to 500^-} \left( -\frac{10}{x^2} \right)=-0,000004 < 0 \\ \lim\limits_{x \to 500^-} \left( \frac{40}{x^2} \right)=0,00016 > 0 \)

Il limite destro e il limite sinistro esistono finiti ma sono diversi, quindi in \( x=500 \) la funzione ha un punto angoloso. La funzione \( g \) è quindi continua nell’intervallo \( (0;43200) \) ma non è derivabile nel punto \( x=500 \)

Analizziamo ora quando la derivata è maggiore di zero:

\( g'(x)>0 \longrightarrow \begin{cases} -\frac{10}{x^2} \quad sempre \ < 0  \\ \frac{40}{x^2} \quad  \ sempre \ >0  \end{cases} \)

La funzione \( g \) ha quindi un minimo in \( x=500 \) poiché a sinistra di \( 500 \) la funzione decresce e a destra di \( x=500 \) cresce, e questo è un punto angoloso perché esistono le derivate destra e sinistra e sono dei valori finiti, ma diversi fra loro.

Il grafico della funzione, è:

Commentiamolo: \( x=500 \) è il minimo, ed è il punto in cui cambia la tariffa. Ciò significa che al minuto 500 il costo medio per minuto è il più basso.

Prima del minuto 500, la funzione decresce, quindi più chiami, più diminuisce il costo medio per minuto, fino ad arrivare al costo minimo in \( x=500 \). Dopo il minuto 500, la funzione cresce, quindi più chiami più aumenta il costo medio per minuto, fino ad arrivare al massimo a 0,2 euro per minuto, che è l’asintoto orizzontale.

 

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• rette;
• continuità di una funzione;
• calcolo degli asintoti di una funzione;
• derivabilità e punti di non derivabilità;
• derivata di una funzione potenza;
• calcolo della derivata di un quoziente;
• massimi e minimi di una funzione.

 

 

Maturità 2016 alle porte, inizia ad esercitarti testi e le soluzioni delle cinque sessioni della maturità dello scorso anno!