Soluzione Problema 1 simulazione seconda prova “Curva nord”

22 Apr 2015

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Nel post I 5 step che DEVI seguire per risolvere la seconda prova di maturità abbiamo descritto come affrontare l’analisi e la soluzione dei problemi di Seconda Prova.

Ecco la soluzione al problema 1 della simulazione della seconda prova del 22 Aprile 2015:

Sei il responsabile della gestione del settore “Curva Nord” dell’impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all’ingresso e all’uscita degli spettatori, nonché alla sicurezza e alla assistenza agli spettatori stessi. La forma del settore sotto la tua gestione è una porzione di corona circolare come rappresentata in figura 1.

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Nella figura c’è una parte di corona circolare con angolo \(\frac{2}{3}\pi\), raggio della circonferenza esterna \( R=50m+30m=80m\) e quello della circonferenza interna \(r=50m\)

Tenendo presente che le normative di sicurezza emanate dal Comune prevedono un indice di affollamento di 3,25 persone/\(m^2\), e che il 9,5% della superficie della “Curva Nord” è inagibile in quanto necessita di lavori di manutenzione.
1) determina la capienza massima \(N_{max}\) attuale del settore “Curva Nord”, approssimata alle centinaia.

Soluzione:

La superficie della curva è quella della parte di corona circolare in grigio nell’immagine. La calcoliamo come differenza tra le superfici dei due cerchi di raggio \(R\) e \(r\) e poi dobbiamo moltiplicare per l’angolo \(\frac{2}{3}\pi\) e dividere per \(2\pi\) che è l’angolo di \(360°\):
\(S=(\pi R^2-\pi r^2)\cdot \frac{\frac{2}{3}\pi}{2\pi} \) \( = \)
\( \frac{\pi}{3}(80^2-50^2)= \)
\( \frac{\pi}{3}(6400-2500)= \)
\( 1300 \pi m^2 \)

Ma il 9,5% è inagibile, quindi la superficie agibile è il 90,5% di \(S=1300\pi m^2\) cioè \(S_{agibile}=90,5\% \cdot 1300\pi= \)
\( 1176,5 \pi m^2 \)

Per trovare la capienza massima \(N_{max}\), moltiplichiamo la superficie disponibile per 3,25 che è il numero di persone per \(m^2\):
\(N= 1176,5 \pi m^2 \cdot 3,25 \frac{\text{ persone}}{m^2}\simeq 12000\)


La Polizia Municipale propone di aprire i cancelli di ingresso un’ora prima dell’inizio della manifestazione sportiva. È necessario non aprirli con troppo anticipo per limitare i costi, ma anche evitare un afflusso troppo intenso, per motivi di sicurezza: la velocità massima di accesso degli spettatori non deve essere superiore a 350 ingressi al minuto. In base alle osservazioni degli anni precedenti, sai che l’andamento del numero di spettatori, aprendo gli ingressi un’ora prima della manifestazione, segue una curva come quella in figura 2.

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2) esprimendo il tempo t in minuti, determina il polinomio p(t) (di terzo grado) che meglio riproduce questo andamento, ipotizzando che il numero di spettatori sia 0 all’apertura dei cancelli di ingresso (t=0) e sia pari al numero massimo consentito N dopo un’ora e che la velocità di accesso sia 0 al momento dell’apertura iniziale degli ingressi e sia ancora 0 dopo un’ora quando l’afflusso termina e il settore è riempito completamente. Verifica che la funzione rispetti il vincolo di sicurezza sulla massima velocità di accesso allo stadio.

Soluzione: 

Il polinomio cercato è \( p(t)=at^3+bt^2+ct+d \). Attenzione! Qui il tempo \(t\) indica minuti e non secondi quindi l’intervallo che stiamo considerando è \([0,60]\). Troviamo i coefficienti di \(p(t)\). Sappiamo che il numero di persone a \(t=0\) è \( 0\) quindi \(p(0)=d=0\). La velocità di ingresso è la derivata di \(p(t)\) rispetto a \(t\) cioè \(p’(t)=3at^2+2bt+c\) che è uguale a \(0\) per \(t=0\) quindi \(p’(0)=c=0\). Sappiamo anche che la velocità dopo un’ora è \(0\) quindi \(p’(60)=3a(60)^2+2b(60)=0\) e troviamo \(b=-90a\). Ora sappiamo anche che il numero di persone al tempo \(t=60\) è \(N_{max}=12000\) quindi \(p(60)=a(60)^3-90a(60)^2=12000\) quindi \(a=\frac{12000}{60^2(60-90)}=-\frac{1}{9}\) e quindi \(b=10\)
Il polinomio cercato è \(p(t)=-\frac{1}{9}t^3+10t^2\)
Per verificare che la funzione rispetti il vincolo di sicurezza sulla massima velocità di accesso allo stadio che è di 350 ingressi al minuto, dobbiamo risolvere la disequazione \(p’(t)=-\frac{1}{3}t^2+20t\le 350\). Facciamo il denominatore comune e portiamo tutto a primo membro \(-t^2+60t-1050\le 0\)
Calcoliamo il \(\frac{\Delta}{4}=900-1050<0\) quindi dato che il segno della disequazione è concorde abbiamo che è verificata per ogni valore di \(t\). La velocità non è quindi mai superiore al valore massimo consentito.


Al termine della manifestazione gli spettatori defluiscono dall’impianto; in base alle osservazioni degli anni scorsi ogni minuto esce dall’impianto il 5% degli spettatori presenti all’interno nel minuto precedente.

3) Determina la funzione che meglio rappresenta il deflusso degli spettatori e indicando con t=0 l’apertura dei cancelli e con \(t_f\) (da determinare) l’istante in cui, durante il deflusso, nell’impianto restano meno di 100 spettatori, disegna il grafico della funzione che rappresenta il numero di spettatori presenti nell’impianto nell’intervallo \([0,t_f]\). Ipotizza che l’impianto sia riempito alla massima capienza e che la manifestazione sportiva duri un’ora. Determina inoltre la massima velocità di deflusso degli spettatori nell’impianto.

Soluzione:
L’inizio del deflusso avviene al termine della manifestazione cioè al tempo \(t=120\) dall’apertura dei cancelli. Ogni minuto il numero di spettatori diminuisce del 5% rispetto numero di spettatori al minuto precedente. Quindi la funzione del deflusso degli spettatori è \(d(t)=(100\%-5\%)^{t-120} \cdot 12000=12000(0,95)^{t-120}\)
La funzione è esponenziale con base \(0,95<1\). Per trovare il tempo \(t_f\) quando ci sono meno di 100 spettatori risolviamo la disequazione \(12000(0,95)^{t-120}<100\). Facendo il logaritmo in base \(e\) a destra e a sinistra abbiamo \( {t-120}\,ln (0,95)<ln(\frac{1}{120}) \to t>\frac{-ln(120)}{ln(0,95)}+120\simeq 213,86 \)
Allora gli spettatori saranno meno di 100 dopo \(t_f= 214 \)minuti dall’apertura dei cancelli.

Per trovare la velocità massima di deflusso osserviamo che la funzione di deflusso \(d(t)\) è sempre decrescente perché è un esponenziale con base \(<1\). La derivata di \(d(t)\) è \(d’(t)=120000\,ln(0,95)(0,95)^{t-120}\) che è sempre negativa perché gli spettatori stanno uscendo dall’impianto. A noi interessa però il valore massimo in valore assoluto perché non ha significato un valore negativo di persone. Quindi il valore assoluto della derivata è una funzione positiva sempre decrescente ed è massima per \(t=120\) quindi \(|d’(120)|\simeq 615\) persone al minuto.


Devi organizzare i servizi di assistenza e ristoro per gli spettatori, sulla base del numero medio di persone nell’impianto.

4) Determina il numero medio di spettatori presenti nell’impianto, nell’intervallo di tempo dall’istante t=0 (apertura dei cancelli) all’istante \(t=t_f\)

Soluzione:

Per calcolare il numero medio di spettatori nell’intervallo \([0,t_f]=[0,214]\) usiamo il teorema della media. La funzione è quella che dà il numero di spettatori presenti ed è definita a tratti perché dipende da quale momento della manifestazione consideriamo. Chiamiamo questa funzione \(f(t)\):
\(f(t)= \begin{cases}-\frac{1}{9}t^3+10t^2 \text{ per } 0\le t \le 60 \\ 12000 \text{ per } 60 < t \le 120 \\ 12000(0,95)^{t-120} \text{ per } 120 < t \le 214 \end{cases}\)
Il teorema della media dice che esiste il valore medio \( M \) della funzione \(f(t)\) ed è uguale all’integrale della funzione nell’intervallo diviso la lunghezza dell’intervallo: \( M=\frac{1}{214} \int_{0}^{214}f(t)\,dt\). Spezziamo l’integrale nella somma degli integrali dei vari tratti, abbiamo:
\(M=\frac{1}{214}[\int_{0}^{60}(-\frac{1}{9}t^3+10t^2)dt+\int_{60}^{120}12000dt+\int_{120}^{214}(12000(0,95)^{t-120})dt\)
Quindi \(M=\frac{1}{214} \left[ -\frac{1}{9}\cdot \frac{60^4}{4}+10\cdot \frac{60^3}{3}+12000\cdot 60+\frac{12000}{(0,95)^{120}}\left(\frac{0,95^{214}}{ln(0,95)}-\frac{0,95^{120}}{ln(0,95)}\right) \right]=\) \(=\frac{360000+720000+232064}{214}=6131\)


FOCUS SIMULAZIONE DEL 22 APRILE:

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