Soluzione Problema 2 – Maturità 2015

18 giu 2015

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• Significato degli zeri di una funzione
• Grado della derivata di una funzione polinomiale

Testo punto 1 problema 2

La funzione derivabile \( y=f(x) \) ha, per \( x \in [-3,3] \), il grafico \( \Gamma \), disegnato in figura. \( \Gamma \) presenta tangenti orizzontali per \( x=-1 \), \( x=1 \), \( x=2 \). Le aree delle regioni \( A, \, B, \, C \) e \( D \) sono rispettivamente \( 2, \, 3, \, 3 \) e \( 1 \). Sia \( g(x) \) una primitiva di \( f(x) \) tale che \( g(3)=-5 \).

1. Nel caso \( f(x) \) fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito.

Commento alla soluzione punto 1 problema 2

Il punto 1 del problema è diventato letteralmente un caso tra i professori e i matematici in generale. Ci sono svariate risposte a questo punto. Qui trovi sia quella “matematicamente corretta”, cioè quella che avresti dovuto scrivere all’esame, sia quella che il/la prof accetterebbe come risposta corretta, o comunque ti darebbe quasi il massimo dei punti.

Soluzione punto 1 problema 2

Dalla figura vediamo che il grafico della funzione interseca l’asse delle ascisse in tre punti: \( x=-2, \, x=0 \) e \( x=2 \). In \( x=2 \) però la funzione ha anche una tangente orizzontale quindi sia la funzione che la derivata in quel punto sono uguali a \( 0 \). Quindi il punto \( x=2 \) ha molteplicità (cioè quante volte annulla le derivate) pari, cioè uguale a \( 2n \)

Quindi sappiamo che la funzione è uguale a zero in \( x=-2, \, x=0 \) e \( x=2 \) allora \( f(x) \) può avere questa forma (per il teorema di Ruffini):

\( f(x)=ax(x+2)(x-2)^{2n} \) dove \( a \) è una costante. Quindi il grado di \( f(x) \) è \( 1+1+2n \ge 4 \)

Se la tua risposta è stata questa, puoi stare abbastanza tranquillo! Questa sarebbe la risposta corretta se avessi avuto solo il grafico a disposizione.

Ma in questo caso, il nostro polinomio deve soddisfare anche altre condizioni. Ad esempio, sappiamo che l’area compresa tra il grafico e l’asse \( x \) delle regioni  \( A, \, B, \, C \) e \( D \) sono rispettivamente \( 2, \, 3, \, 3 \) e \( 1 \). Quindi abbiamo anche altre \( 4 \) condizioni che il nostro “polinomio” \( f(x) \) dovrebbe soddisfare.

Ogni condizione in più fa aumentare di \( 1 \) il grado. Quindi siamo passati da grado minimo \( 4 \) a \( 4+4=8 \). Finito? No, mancano le condizioni sulle tangenti orizzontali. Per \( x=2 \) siamo a posto perché le condizioni su questo punto le abbiamo già contate all’inizio (perché è uno zero della funzione). Per i punti \( x=1 \) e \( x=-1 \) invece abbiamo altre due condizioni. Quindi siamo arrivati a \( 8+2=10 \). Quindi \( 10 \) condizioni si traducono con un polinomio di grado almeno \( 9 \) (perché una è data dal termine noto).

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• Significato degli zeri di una funzione
• Grado della derivata di una funzione polinomiale

 

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• ricerca e studio dei massimi, minimi e flessi di una funzione.

Testo punto 2 problema 2

2. Individua i valori di \( x \in [-3,3] \) per cui \( g(x) \) ha un massimo relativo e determina i valori di \( x \) per i quali \( g(x) \) volge la concavità verso l’alto.

Soluzione punto 2 problema 2

Abbiamo il grafico della funzione \( f(x) \) e sappiamo che \( g(x) \) è una sua primitiva, cioè \( g'(x)=f(x) \). Quindi per trovare il massimo relativo di \( g(x) \) studiamo il segno della sua derivata \( f(x) \) con l’aiuto del grafico:

• \( f(x)<0 \to x \in (-3,-2) \cup (0, 3) \)
• \( f(x)>0 \to x \in (-2,0) \)

Facciamo quindi lo schema dei segni per vedere dove la funzione \( f(x) \) è positiva o negativa e quindi per vedere in quali intervalli \( g(x) \) cresce o decresce:

Quindi \( g(x) \) decresce fino al punto \( x=-2 \) che è quindi un minimo relativo, poi cresce fino a \( x=0 \) e poi torna a decrescere. Quindi la funzione \( g(x) \) ha un massimo relativo in \( x=0 \)

Studiamo ora la concavità di \( g(x) \): dobbiamo studiare il segno della derivata seconda \( g”(x)=f'(x) \). Dal grafico però vediamo che:

• dove \( f(x) \) cresce allora \( f'(x)=g”(x)>0 \) quindi \( g(x) \) ha la concavità verso l’alto;
• dove \( f(x) \) decresce allora \( f'(x)=g”(x)<0 \) quindi \( g(x) \) ha la concavità verso il basso.

Facciamo lo schema dei segni:

la funzione \( f(x) \) cresce negli intervalli \( (-3,-1) \) e \( (1,2) \) che sono gli intervalli in cui la funzione \( g(x) \) ha la concavità verso l’alto.

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• ricerca e studio dei massimi, minimi e flessi di una funzione.

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• Teorema di De L’Hopital
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Testo punto 3 problema 2

3. Calcola \( g(0) \) e, se esiste, il \( \lim\limits_{x \to 0 }\frac{1+g(x)}{2x} \)

Soluzione punto 3 problema 2

Per risolvere questo punto, è importante ricordarsi il teorema fondamentale del calcolo integrale: se \( f(x) \) è una funzione continua in un intervallo \( (a,b) \) allora la funzione integrale \( F(x) = \in_{a}^{x} f(t)dt \) e derivabile in tutti i punti in cui la funzione \( f(x) \) è continua e \( F'(x)=f(x) \) cioè \( F(x) \) è una primitiva di \( f(x) \). Noi sappiamo che anche \( g(x) \) è una primitiva di \( f(x) \) quindi:

\( g(x)=\int_{-3}^{x}f(t)dt + k \)

Tutto quello che dobbiamo fare è trovare \( k \). Sappiamo che \( g(3)=-5 \) quindi ci basta sostituire \( x=3  \) nell’espressione di \( g(x) \):

\( g(3)=\int_{-3}^{3}f(t)dt + k = -5 \)

Per calcolare \( \int_{-3}^{3}f(t)dt  \) basta fare la somma delle aree con segno delle regioni \( A, \, B, \, C \) e \( D \). Per \( A, \, C \) e \( D \) l’area con segno è negativa mentre per \( B \) è positiva, quindi

\( \int_{-3}^{3}f(t)dt = -2+3-3-1=-3 \)

e troviamo il valore di \( k  \) sostituendo:

\( g(3)=\int_{-3}^{3}f(t)dt + k = -3 + k = -5 \to k=-2 \)

Quindi \( g(0)=\int_{-3}^{0}f(t)dt -2  = -2+3-2 = -1 \)

Calcoliamo ora il \( \lim\limits_{x \to 0 }\frac{1+g(x)}{2x} \). Abbiamo appena visto che \( g(x) \) è una funzione continua e che \( g(0)=-1 \) quindi il limite dà la forma indeterminata \( \lim\limits_{x \to 0 }\frac{1+g(x)}{2x}= \frac{0}{0} \). Usiamo il teorema di De L’Hopital perché sia il numeratore che il denominatore sono funzioni continue e derivabili:

\( \lim\limits_{x \to 0 }\frac{1+g(x)}{2x} = \lim\limits_{x \to 0 }\frac{g'(x)}{2}=\lim\limits_{x \to 0 }\frac{f(x)}{2}=0 \)

perché la funzione \( f(x) \) è continua e in \( x=0 \) vale \( 0 \) (si vede dal grafico in figura).

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• Teorema di De L’Hopital
• Teorema fondamentale del calcolo integrale

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• Integrazione per sostituzione

Testo punto 4 problema 2

4. Sia \( h(x)=3\cdot f(2x+1) \), determina il valore di \( \int_{-2}^{1}h(x)dx \)

Soluzione punto 4 problema 2

Scriviamo l’integrale da calcolare sostituendo la funzione \( h(x) \) con la sua espressione \( 3\cdot f(2x+1) \), quindi abbiamo:

\( \int_{-2}^{1}h(x)dx= \int_{-2}^{1}3\cdot f(2x+1)dx \)

A questo punto facciamo una sostituzione. Vogliamo infatti che l’argomento della funzione \( f \) non sia \( 2x+1 \) ma una “lettera” singola, diciamo \( t \):

\( t=2x+1 \to x = \frac{t-1}{2} \) e \( dx = \frac{1}{2}dt \)

Gli estremi di integrazione diventano:

• se \( x=-2 \to t=-3 \)
• se \( x=1 \to t=3 \)

Quindi l’integrale da calcolare diventa:

\( \int_{-2}^{1}h(x)dx= \int_{-3}^{3}\frac{3}{2}\cdot f(t)dt \)

Ma \( \int_{-3}^{3}f(t)dt \) è proprio la somma delle aree con segno delle regioni \( A, \, B, \, C \) e \( D \) che vale \( -3 \) quindi abbiamo calcolato l’integrale richiesto:

\( \int_{-2}^{1}h(x)dx= \int_{-3}^{3}\frac{3}{2}\cdot f(t)dt = \frac{3}{2}\cdot (-3) = -\frac{9}{2} \)

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• Integrazione per sostituzione