Soluzione punto 1 problema 1 Maturità 2015

19 Jun 2015

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Argomenti che devi sapere per risolverlo:

Testo punto 1 problema 1:

Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all’estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con \(f(x) \) la spesa totale nel mese e con \(g(x) \) il costo medio al minuto: 

  1. individua l’espressione analitica delle funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) e rappresentale graficamente; verifica che la funzione \( g(x) \) non ha né massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell’andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano.

Soluzione punto 1 problema 1:

  • \( x \) sono i minuti al mese;
  • \( 10 euro \) è il costo fisso mensile;
  • \( 10 cent= \frac{1}{10} euro= 0,1 euro \);
  • \( f(x) \) descrive la spesa totale al mese, in euro, quindi sarà pari ai 10 euro di costo fisso, sommati ai 10 centesimi al minuto: \( f(x)=10+0,1x \)
  • \( g(x) \) descrive il costo medio al minuto, quindi l’espressione della funzione è: \( g(x)= \frac{f(x)}{x}=\frac{10+0,1x}{x} \)

Facciamo il grafico delle due funzioni e commentiamolo alla luce della situazione concreta che rappresentano.

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Figura 1

Troviamo il dominio della funzione \( f(x) \).
Prima di tutto ci chiediamo quanti minuti ci sono in un mese: \( 30 giorni \cdot 24 ore \cdot 60 minuti = 43200 minuti \). Inoltre non esistono minuti negativi, quindi il dominio di \( f \) è: \( D_f=[0, 43200] \).
Commentiamola: \( f \) rappresenta il costo mensile, se parliamo per zero minuti, paghiamo solo il costo fisso di 10 euro, che è quindi il minimo della funzione, se parlassimo continuamente tutti i 43200 minuti del mese, invece, pagheremmo \( f(43200)=10+0,1 \cdot 43200=4330 euro \), che è quindi il massimo assoluto della funzione \( f(x) \). In conclusione,  il costo mensile aumenta linearmente a seconda dei minuti di chiamata effettuati.
Abbiamo detto “se parlassimo continuamente tutti i 43200 minuti del mese” cosa significa? Normalmente passi un mese al telefono o fai varie telefonate da alcuni minuti? Immagino faccia più telefonate da alcuni minuti, quindi la funzione che descrive al meglio la situazione, è una funzione “a scala”, definita a tratti, dove un piccolo tratto di retta descrive i minuti di seguito fatti durante ogni telefonata. Supponiamo per semplicità di parlare tutto il mese, giorno e notte, di seguito, così la funzione sarà più semplice da analizzare e conforme a quelle che sono le richieste successive del problema.

Il dominio della funzione \( g(x) \) è lo stesso della funzione \( f(x) \), ma con \( x=0 \) escluso perché non si può dividere per zero! Quindi \( D_g=(0, 43200) \).

Calcoliamo la derivata di \( g \): \( g'(x)=\frac{0,1 \cdot x -(10+0,1 \cdot x)\cdot 1}{x^2}=-\frac{10}{x^2} \)
Per trovare i massimi ed i mini relativi dobbiamo studiare il segno della derivata prima:

\( g'(x) \ge 0 \Rightarrow -\frac{10}{x^2} \ge 0 \), \( 10 > 0 \) e \( x^2 >0 \) per ogni \( x \) reale. Quindi \( g'(x) \) è sempre negativa e non si annulla mai, ciò significa che \( g(x) \) è sempre decrescente e non ha né massimi né minimi relativi interni al dominio.

Ha però un minimo assoluto all’estremo del dominio, infatti in \( x= 43200 \) il costo medio è il minore che si possa raggiungere.

Commentiamo la funzione: \( g(x) \) rappresenta il costo medio delle chiamate in un mese, è una funzione decrescente, quindi più minuti parli in un mese, più ammortizzi il costo fisso di 10 euro del piano tariffario. Questo però non vuol dire che più parli, meno spendi!

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