Soluzione punto 1 problema 2 – Maturità 2015

21 Jun 2015

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Argomenti che devi sapere per risolverlo:

 

Testo punto 1 problema 2

La funzione derivabile \( y=f(x) \) ha, per \( x \in [-3,3] \), il grafico \( \Gamma \), disegnato in figura. \( \Gamma \) presenta tangenti orizzontali per \( x=-1 \), \( x=1 \), \( x=2 \). Le aree delle regioni \( A, \, B, \, C \) e \( D \) sono rispettivamente \( 2, \, 3, \, 3 \) e \( 1 \). Sia \( g(x) \) una primitiva di \( f(x) \) tale che \( g(3)=-5 \).

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1. Nel caso \( f(x) \) fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito.

Commento alla soluzione punto 1 problema 2

Il punto 1 del problema è diventato letteralmente un caso tra i professori e i matematici in generale. Ci sono svariate risposte a questo punto. Qui trovi sia quella “matematicamente corretta”, cioè quella che avresti dovuto scrivere all’esame, sia quella che il/la prof accetterebbe come risposta corretta, o comunque ti darebbe quasi il massimo dei punti.

Soluzione punto 1 problema 2

Dalla figura vediamo che il grafico della funzione interseca l’asse delle ascisse in tre punti: \( x=-2, \, x=0 \) e \( x=2 \). In \( x=2 \) però la funzione ha anche una tangente orizzontale quindi sia la funzione che la derivata in quel punto sono uguali a \( 0 \). Quindi il punto \( x=2 \) ha molteplicità (cioè quante volte annulla le derivate) pari, cioè uguale a \( 2n \)

Quindi sappiamo che la funzione è uguale a zero in \( x=-2, \, x=0 \) e \( x=2 \) allora \( f(x) \) può avere questa forma (per il teorema di Ruffini):

\( f(x)=ax(x+2)(x-2)^{2n} \) dove \( a \) è una costante. Quindi il grado di \( f(x) \) è \( 1+1+2n \ge 4 \)

Se la tua risposta è stata questa, puoi stare abbastanza tranquillo! Questa sarebbe la risposta corretta se avessi avuto solo il grafico a disposizione.

Ma in questo caso, il nostro polinomio deve soddisfare anche altre condizioni. Ad esempio, sappiamo che l’area compresa tra il grafico e l’asse \( x \) delle regioni  \( A, \, B, \, C \) e \( D \) sono rispettivamente \( 2, \, 3, \, 3 \) e \( 1 \). Quindi abbiamo anche altre \( 4 \) condizioni che il nostro “polinomio” \( f(x) \) dovrebbe soddisfare.

Ogni condizione in più fa aumentare di \( 1 \) il grado. Quindi siamo passati da grado minimo \( 4 \) a \( 4+4=8 \). Finito? No, mancano le condizioni sulle tangenti orizzontali. Per \( x=2 \) siamo a posto perché le condizioni su questo punto le abbiamo già contate all’inizio (perché è uno zero della funzione). Per i punti \( x=1 \) e \( x=-1 \) invece abbiamo altre due condizioni. Quindi siamo arrivati a \( 8+2=10 \). Quindi \( 10 \) condizioni si traducono con un polinomio di grado almeno \( 9 \) (perché una è data dal termine noto).

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