Soluzione punto 2 problema 1 Maturità 2015 19 giu 2015

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• calcolo dei limiti;
• asintoti verticali.

Testo punto 2 problema 1:

Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all’estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con \(f(x) \) la spesa totale nel mese e con \(g(x) \) il costo medio al minuto: 

1. individua l’espressione analitica delle funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \) e rappresentale graficamente; verifica che la funzione \( g(x) \) non ha né massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell’andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano.
2. Detto \( x_0 \) il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina \( x_1 \) tale che: \( g(x_1)=\frac{g(x_0)}{2} \) Traccia il grafico della funzione che esprime \( x_1 \) in funzione di \( x_0 \) e discuti il suo andamento. Che significato ha il suo asintoto verticale?

Soluzione punto 2 problema 1:

Scriviamo l’espressione della funzione \( g(x_1) \) ricavandola da \( g(x) \):

\( \frac{10}{x_1}+0,1=\frac{10}{2x_0}+\frac{0,1}{2} \\ x_1=\frac{200 x_0}{100-x_0} \)

Quindi: \( g(x_1)=\frac{200 x_0}{100-x_0} \) ha dominio \( [0,100) \cup (100, 43200) \)

Cerchiamo gli asintoti nei punti critici del dominio, quindi in \( x=100 \):

\( \lim\limits_{x_0 \to 100} \frac{200 x_0}{100-x_0} = +\infty \)

Quindi \( x_0=100 \) è un asintoto verticale.
L’asintoto verticale significa che \( x_1 \) aumenta all’aumentare di \( x_0 \), fino all’asintoto \( x_0 =200 \), 100 è la soglia in minuti entro la quale è possibile dimezzare il costo medio dei minuti già consumati.

 

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

• calcolo dei limiti;
• asintoti verticali.