Soluzione punto 2 problema 2 – Maturità 2015

22 Jun 2015

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Testo punto 2 problema 2

La funzione derivabile \( y=f(x) \) ha, per \( x \in [-3,3] \), il grafico \( \Gamma \), disegnato in figura. \( \Gamma \) presenta tangenti orizzontali per \( x=-1 \), \( x=1 \), \( x=2 \). Le aree delle regioni \( A, \, B, \, C \) e \( D \) sono rispettivamente \( 2, \, 3, \, 3 \) e \( 1 \). Sia \( g(x) \) una primitiva di \( f(x) \) tale che \( g(3)=-5 \).

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2. Individua i valori di \( x \in [-3,3] \) per cui \( g(x) \) ha un massimo relativo e determina i valori di \( x \) per i quali \( g(x) \) volge la concavità verso l’alto.

Soluzione punto 2 problema 2

Abbiamo il grafico della funzione \( f(x) \) e sappiamo che \( g(x) \) è una sua primitiva, cioè \( g'(x)=f(x) \). Quindi per trovare il massimo relativo di \( g(x) \) studiamo il segno della sua derivata \( f(x) \) con l’aiuto del grafico:

  • \( f(x)<0 \to x \in (-3,-2) \cup (0, 3) \)
  • \( f(x)>0 \to x \in (-2,0) \)

Facciamo quindi lo schema dei segni per vedere dove la funzione \( f(x) \) è positiva o negativa e quindi per vedere in quali intervalli \( g(x) \) cresce o decresce:

schema dei segni

 

Quindi \( g(x) \) decresce fino al punto \( x=-2 \) che è quindi un minimo relativo, poi cresce fino a \( x=0 \) e poi torna a decrescere. Quindi la funzione \( g(x) \) ha un massimo relativo in \( x=0 \)

Studiamo ora la concavità di \( g(x) \): dobbiamo studiare il segno della derivata seconda \( g”(x)=f'(x) \). Dal grafico però vediamo che:

  • dove \( f(x) \) cresce allora \( f'(x)=g”(x)>0 \) quindi \( g(x) \) ha la concavità verso l’alto;
  • dove \( f(x) \) decresce allora \( f'(x)=g”(x)<0 \) quindi \( g(x) \) ha la concavità verso il basso.

Facciamo lo schema dei segni:

schema dei segni concavità

la funzione \( f(x) \) cresce negli intervalli \( (-3,-1) \) e \( (1,2) \) che sono gli intervalli in cui la funzione \( g(x) \) ha la concavità verso l’alto.

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