Soluzione punto 3 problema 1 Maturità 2015

19 Jun 2015

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Argomenti che devi sapere per risolverlo:

Testo punto 3 problema 1:

Sul sito web l’operatore telefonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale telefonico nella zona di tuo interesse:

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La zona è delimitata dalla curva passante per i punti A, B e C, dagli assi x e y, e dalla retta di equazione x=6; la porzione etichettata con la “Z”, rappresenta un’area non coperta dal segnale telefonico dell’operatore in questione.

3. Rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, verificando che il suo grafico passi per i punti A, B e C. Sul sito web dell’operatore compare la seguente affermazione: “nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 96% del territorio”: verifica se effettivamente è così.

Soluzione punto 3 problema 1:

Una funzione polinomiale di secondo grado è una funzione del tipo \( y=ax^2+bx+c \), e quindi è l’equazione di una parabola. Osservando la figura possiamo dire che è una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle \( y \) e concavità verso il basso. Sappiamo che passa per i punti A, B e C, quindi possiamo trovare l’equazione risolvendo il sistema con l’appartenenza dei tre punti, cioè sostituendo le coordinate dei tre punti nell’equazione generica della parabola.

I tre punti sono \( A(0;2) \), \( B(2;\frac{7}{2}) \), \( C(4;4) \)

\( \begin{cases} c=2 \\ \frac{7}{2}=4a+2b+2 \\ 4= 16a+4b+2  \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c=2 \\ a=-\frac{1}{8} \\ 4b=3-8 \left(- \frac{1}{8} \right)  \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=-\frac{1}{8} \\ b=1 \\ c=2 \end{cases} \)

Quindi l’equazione della parabola è \( y= -\frac{1}{8}x^2+x+2 \). Per verificare che è esattamente quella corretta e che non abbiamo sbagliato i calcoli possiamo sostituire i tre punti uno ad uno e otterremo un’identità.

L’area sottesa dalla parabola che ci interessa è quella delimitata dal grafico della parabola, l’asse y, di equazione \( x=0 \), la retta di equazione \( x=6 \), e l’asse delle x. Per calcolarla risolviamo l’integrale:

\( A_P=\int_0^6 \left( -\frac{1}{8}x^2+x+2 \right) dx = \left[-\frac{1}{8} \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x \right]_0^6 \) \( =-9+18+12=21 \ km^2 \)

L’area della zona “Z” è un triangolo di base \( 1 \ km \) e altezza \(1 \ km\), quindi l’area è: \( A_Z= \frac{b \cdot h}{2}=\frac{1 \cdot 1}{2}=\frac{1}{2}=0,5 \ km^2 \)

Calcoliamo \( A_Z \) in percentuale risolvendo la seguente proporzione: \(\frac{1}{2}: 21= x:100 \) Quindi: \( x=\frac{50}{21}=2,38 \  % \)

In conlusione, non è vero che la zona è coperta dal segnale per il 96% perché \( 100 \ % -2,38 \ % =97,62 \ % \). Quasi il 98% del territorio è coperto dal segnale, e non il 96%!

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