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Soluzione punto 3 problema 2 – Maturità 2015 22 giu 2015
Argomenti che devi sapere per risolverlo:
Testo punto 3 problema 2
La funzione derivabile \( y=f(x) \) ha, per \( x \in [-3,3] \), il grafico \( \Gamma \), disegnato in figura. \( \Gamma \) presenta tangenti orizzontali per \( x=-1 \), \( x=1 \), \( x=2 \). Le aree delle regioni \( A, \, B, \, C \) e \( D \) sono rispettivamente \( 2, \, 3, \, 3 \) e \( 1 \). Sia \( g(x) \) una primitiva di \( f(x) \) tale che \( g(3)=-5 \)
3. Calcola \( g(0) \) e, se esiste, il \( \lim\limits_{x \to 0 }\frac{1+g(x)}{2x} \)
Soluzione punto 3 problema 2
Per risolvere questo punto, è importante ricordarsi il teorema fondamentale del calcolo integrale: se \( f(x) \) è una funzione continua in un intervallo \( (a,b) \) allora la funzione integrale \( F(x) = \in_{a}^{x} f(t)dt \) e derivabile in tutti i punti in cui la funzione \( f(x) \) è continua e \( F'(x)=f(x) \) cioè \( F(x) \) è una primitiva di \( f(x) \). Noi sappiamo che anche \( g(x) \) è una primitiva di \( f(x) \) quindi:
\( g(x)=\int_{-3}^{x}f(t)dt + k \)
Tutto quello che dobbiamo fare è trovare \( k \). Sappiamo che \( g(3)=-5 \) quindi ci basta sostituire \( x=3 \) nell’espressione di \( g(x) \):
\( g(3)=\int_{-3}^{3}f(t)dt + k = -5 \)Per calcolare \( \int_{-3}^{3}f(t)dt \) basta fare la somma delle aree con segno delle regioni \( A, \, B, \, C \) e \( D \). Per \( A, \, C \) e \( D \) l’area con segno è negativa mentre per \( B \) è positiva, quindi
\( \int_{-3}^{3}f(t)dt = -2+3-3-1=-3 \)e troviamo il valore di \( k \) sostituendo:
\( g(3)=\int_{-3}^{3}f(t)dt + k = -3 + k = -5 \to k=-2 \)Quindi \( g(0)=\int_{-3}^{0}f(t)dt -2 = -2+3-2 = -1 \)
Calcoliamo ora il \( \lim\limits_{x \to 0 }\frac{1+g(x)}{2x} \). Abbiamo appena visto che \( g(x) \) è una funzione continua e che \( g(0)=-1 \) quindi il limite dà la forma indeterminata \( \lim\limits_{x \to 0 }\frac{1+g(x)}{2x}= \frac{0}{0} \). Usiamo il teorema di De L’Hopital perché sia il numeratore che il denominatore sono funzioni continue e derivabili:
\( \lim\limits_{x \to 0 }\frac{1+g(x)}{2x} = \lim\limits_{x \to 0 }\frac{g'(x)}{2}=\lim\limits_{x \to 0 }\frac{f(x)}{2}=0 \)perché la funzione \( f(x) \) è continua e in \( x=0 \) vale \( 0 \) (si vede dal grafico in figura).
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