Soluzione punto 4 problema 1 Maturità 2015

19 Jun 2015

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Testo punto 4 problema 1

L’operatore di telefonia modifica il piano tariffario, inserendo un sovrapprezzo di 10 centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi 500 minuti.

4. Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni \( f(x) \) e \( g(x) \), riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione \( g(x) \) e della sua derivata e spiegane il significato nella situazione concreta.

Soluzione punto 4 problema 1

Troviamo la nuova espressione per la funzione \( f(x) \) e commentiamola.

Il sovrapprezzo di 10 centesimi dopo il minuto 500 è dato da: \( 0,2(x-500) \)

La nuova funzione, quindi, è definita a tratti:
\( f(x)= \begin{cases} 10+0,1 x \quad se \ 0 \le x \le 500  \\ f(500)+0,2(x-500) \quad \ se \ x>500 \end{cases} \)

Quindi: \( f(x)= \begin{cases} 10+0,1 x \quad se \ 0 \le x \le 500  \\ 0,2x-40 \quad se \ x > 500 \end{cases} \)

La funzione \( f(x) \) è continua perché unione di due rette, ma non è derivabile in \(x=500 \) infatti:

\( f'(x)= \begin{cases}0,1 \quad \ se \ 0 \le x \le 500 \\ 0,2  \quad se \ x >500 \end{cases} \). Perciò:

\(f'(500)^- =0,1 \ne 0,2=f'(500)^+ \). Quindi \( x=500 \) è un punto angoloso.

Il grafico della funzione è:

problema-1-fugura-4-redooc

La funzione \( g \) diventa:

\( \begin{cases} \frac{10}{x}+0,1 \quad se \ 0 < x \le 500 \\ -\frac{40}{x}+0,2 \quad  \ se \ x>500 \end{cases} \)

La funzione è continua nel suo dominio \( (0, + \infty) \), infatti \( \lim\limits_{x \to 500^-} \frac{10}{x}+0,1 =0,12=\lim\limits_{x \to 500^+} -\frac{40}{x}+0,2 \) e inoltre \( g(500)=0,12 \).

Cerchiamo gli asintoti della funzione nel punto critico del dominio, cioè \( x=0 \):

\( \lim\limits_{x \to 0} \left( \frac{10}{x}+0,1 \right)=+ \infty \) quindi \( x=0 \) è un asintoto verticale.

\( \lim\limits_{x \to \infty} \left( -\frac{40}{x}+0,2 \right)= 0,2 \) quindi \( y=0,2 \) è un asintoto orizzontale.

Calcoliamo ora la derivata di \( g \) per cercare eventuali punti di massimo o minimo:

\( g'(x)=\begin{cases} -\frac{10}{x^2} \quad se \ 0 < x \le 500 \\ \frac{40}{x^2} \quad  \ se \ x> 500 \end{cases} \)

La derivata \( g'(x) \) non si annulla mai e presenta in \( x=500 \) un punto critico, infatti:

\( \lim\limits_{x \to 500^-} \left( -\frac{10}{x^2} \right)=-0,000004 < 0 \\ \lim\limits_{x \to 500^-} \left( \frac{40}{x^2} \right)=0,00016 > 0 \)

Il limite destro e il limite sinistro esistono finiti ma sono diversi, quindi in \( x=500 \) la funzione ha un punto angoloso. La funzione \( g \) è quindi continua nell’intervallo \( (0;43200) \) ma non è derivabile nel punto \( x=500 \)

Analizziamo ora quando la derivata è maggiore di zero:

\( g'(x)>0 \longrightarrow \begin{cases} -\frac{10}{x^2} \quad sempre \ < 0  \\ \frac{40}{x^2} \quad  \ sempre \ >0  \end{cases} \)

La funzione \( g \) ha quindi un minimo in \( x=500 \) poiché a sinistra di \( 500 \) la funzione decresce e a destra di \( x=500 \) cresce, e questo è un punto angoloso perché esistono le derivate destra e sinistra e sono dei valori finiti, ma diversi fra loro.

Il grafico della funzione, è:

problema-2-figura-4-redooc-ok

Commentiamolo: \( x=500 \) è il minimo, ed è il punto in cui cambia la tariffa. Ciò significa che al minuto 500 il costo medio per minuto è il più basso.

Prima del minuto 500, la funzione decresce, quindi più chiami, più diminuisce il costo medio per minuto, fino ad arrivare al costo minimo in \( x=500 \). Dopo il minuto 500, la funzione cresce, quindi più chiami più aumenta il costo medio per minuto, fino ad arrivare al massimo a 0,2 euro per minuto, che è l’asintoto orizzontale.

Ovviamente rimane il fatto che il numero massimo di minuti che una persona può consumare è 43200.

 

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