Soluzione Quesito 1 Maturità 2015

18 Jun 2015

soluzione-quesito-2-maturita-2015-seconda-prova-matematica

Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 1 della seconda prova di matematica.

Difficoltà: Bassa

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

Testo del quesito 1:

Determinare l’espressione analitica della funzione \( y=f(x) \) sapendo che la retta \( y =-2x+5 \) è tangente al grafico di \( f \) nel secondo quadrante e che \(f'(x)=-2x^2+6\).

Soluzione del quesito 1:

Possiamo trovare la funzione \( y=f(x)\) a partire dalla sua derivata facendo un semplice integrale: infatti integrando la derivata otteniamo la funzione di partenza.

In questo caso, dobbiamo integrare la funzione \( f'(x)=-2x^2 + 6\) che è un polinomio di secondo grado, quindi basta ricordarsi la formula \( \int x^{n}dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}\):

\( f(x) = \int f'(x)dx =\int (-2x^2+6)dx = -2\left(\frac{x^3}{3}\right)+6x + c\)

Per trovare l’espressione analitica della funzione dobbiamo trovare il valore della costante \( c \). Usiamo l’altra informazione data dal testo del quesito. Sappiamo che il coefficiente angolare della la retta tangente al grafico di \( f \) è proprio la derivata della funzione calcolata nel punto di tangenza. Quindi chiamiamo \( x_0 \) il punto di tangenza e sappiamo che la derivata in \( x_0\) della funzione è uguale al coefficiente angolare della retta \( y= -2x+5 \) cioè \( m=-2\) quindi:

\( f'(x)=-2x^2+6 \to f'(x_0) = -2(x_0)^2 + 6 =-2 \to x_0 = \pm 2 \)

ma il punto di tangenza è nel secondo quadrante dove le \( x \) sono negative quindi scegliamo \( x_0 = -2 \)
Per trovare l’ordinata del punto, sostituiamo \( x_0 = -2 \) nella retta tangente:

\( y_0 = -2x_0 +5 \to y_0 = 9\) quindi il punto di tangenza è \( P( -2 ; 9)\)

Sostituiamo quindi le coordinate del punto \( P\) nell’equazione \( f(x) = -2\left( \frac{x^3}{3}\right) +6x + c\) per trovare \( c\):

\( 9 = – \frac{2}{3}(-2)^3 + 6(-2)+c \to c=9- \frac{16}{3}+12= \frac{47}{3} \)

Quindi la funzione cercata e soluzione del quesito è \( f(x) = -2\frac{x^3}{3}+6x + \frac{47}{3} \)

Hai fatto questo quesito? Era semplice?

 

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

 

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