Soluzione Quesito 10 Maturità 2015

18 Jun 2015

soluzione-quesito-10-maturita-2015-matematica-seconda-prova

Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 10 della seconda prova di matematica.

Difficoltà: bassa

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

Testo del quesito 10:

Il grafico di una funzione \( f(x) = \sqrt{x} \ \left(x \in \mathbb{R}, x \ge 0 \right) \) divide in due porzioni il rettangolo \( ABCD \) avente vertici \( A(1; 0), B(4; 0), C(4; 2), D(1; 2) \). Calcolare il rapporto tra le aree delle due porzioni.

Soluzione del quesito 10:

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Calcoliamo l’area del rettangolo \( ABCD \): \( A_{ABCD} = 3 \cdot 2 = 6 \).

Calcoliamo l’area della porzione di rettangolo \( A_1 \) che sta sotto alla funzione \( f(x) = \sqrt{x} \), quindi calcoliamo l’integrale \( \int_{1}^{4} f(x) dx \).

\( A_1 = \int_{1}^{4} f(x) dx = \int_{1}^{4} \sqrt{x} dx = \) \( \int_{1}^{4} x ^{\frac{1}{2}} dx = \left[ \frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \left[\frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} = \) \(  \frac{16}{3} – \frac{2}{3} = \frac{14}{3} \)

Troviamo l’altra porzione del rettangolo semplicemente facendo la sottrazione \( A_2 = A_{ABCD} – A_1 = 6 – \frac{14}{3} = \frac{4}{3} \)

Ora calcoliamo il rapporto tra le due aree: \( \frac{A_1}{A_2} = \frac{\frac{14}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{7}{2} \)

Il rapporto tra le aree delle due porzioni è \( \frac{7}{2} \).

 

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

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