Soluzione Quesito 2 Maturità 2015

18 Jun 2015

soluzione-quesito-2-maturita-2015-seconda-prova-matematica

Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 2 della seconda prova di matematica.

Difficoltà: media

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

Testo del quesito 2:

Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula \( V=\frac{1}{3} \pi \cdot h \cdot \left(R^2 +r^2 +R \cdot r \right) \) dove \( R \) ed \( r \) sono i raggi e \( h \) l’altezza.

Soluzione 1:

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Figura 1

Un tronco di cono può essere visto come un cono grande senza la “punta”.
In questo caso il volume del tronco di cono (in verde in figura 1) è uguale al volume del cono grande di altezza \( h_G \) e raggio \( R \) meno il volume del cono piccolo, cioè la “punta”, di altezza \( h_P \) e raggio \( r \) (in arancione in figura 1).

In formule questo si traduce come:

\( V_{T}=V_{C_G}-V_{C_P} = \frac{1}{3} h_G \pi R^2 – \frac{1}{3} h_P \pi r^2\)
Ora: \( h_G=h_T+h_P \), quindi il volume del cono diventa:

\( V_{T}= \frac{1}{3} h_T \pi R^2 + \frac{1}{3} h_P \pi R^2 – \frac{1}{3}h_P \pi r^2 \)
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Figura 2

Usiamo le similitudini tra i due triangoli azzurri in figura 2 e otteniamo:

\( h_T : h_P = (R-r) : r \)

Risolviamo la proporzione: \( h_P= \frac{h_T \cdot r}{R-r}\)

Sostituiamo nella formula del volume del tronco di cono:

\(V_T= \frac{1}{3}h_T \pi R^2+ \frac{1}{3} \frac{h_T \cdot \pi \cdot r \cdot R^2}{R-r} – \frac{1}{3} \frac{h_T \cdot \pi \cdot r^3}{R-r} \)

Raccogliamo a fattor comune il termine \(\frac{h_T \pi}{3}\) e otteniamo:

\( V_T=\frac{h_T \pi}{3} \left( \frac{R^3 – rR^2+rR^2-r^3}{R-r} \right)= \frac{h_T \pi}{3} \left( \frac{R^3-r^3}{R-r} \right) \)

Sviluppiamo la differenza di cubi:

\( V_T=\frac{h_T \pi }{3} \left( \frac{(R-r)(R^2+rR+r^2)}{R-r} \right)\)

Semplificando otteniamo la formula cercata:

\( V_T=\frac{1}{3}h_T \pi \left( R^2 +rR+r^2\right) \)

Soluzione 2:

Vediamo il tronco di cono come un solido di rotazione.

L’altezza \( h \) del tronco sta sull’asse \( x \);
Il raggio \( r \) sta sull’asse \( y \); Il raggio \( R \) si trova sulla retta di equazione \( x=h \).

quesito-2-figura-3-maturita-2015-redooc

Figura 3

Per ottenere il tronco di cono, quindi, facciamo ruotare la retta passante per i punti \( (0;r) \) e \( (h; R) \), che ha quindi equazione: \( f(x)=\frac{R-r}{h}x+r \).

Il volume del solido di rotazione è dato dalla formula \( V_T= \pi \int_0^h [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^h ( \frac{R-r}{h}x+r )^2 dx \)
Quindi: \( V_T= \pi \left( \frac{1}{3} \frac{h}{R-r} \right) \left[\left(\frac{R-r}{h}x + r\right)^{3} \right]_0^h=  \frac{1}{3} \frac{\pi \cdot h}{R-r} (R^3-r^3) \)

Sviluppiamo la differenza di cubi:

\( V_T=\frac{h_T \pi }{3} \left( \frac{(R-r)(R^2+rR+r^2)}{R-r} \right)\)

Semplificando otteniamo la formula cercata:

\( V_T=\frac{1}{3}h_T \pi \left( R^2 +rR+r^2\right) \)

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

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