Soluzione Quesito 3 Maturità 2015

soluzione quesito maturita seconda prova matematica

Esame di Maturità 2015: la soluzione del quesito 3 della seconda prova di matematica.

Difficoltà: Media

Argomenti che devi sapere per risolverlo:

Calcolo delle probabilità;
Variabile aleatoria binomiale;
Coefficiente binomiale.

Testo del quesito 3:

Lanciando una moneta \( 6 \) volte, qual è la probabilità:

che si ottenga testa “al più” due volte?
che si ottenga testa “almeno” due volte?

Soluzione del quesito 3:

1. Lanciamo una moneta \( 6 \) volte. A ogni lancio i possibili risultati sono testa oppure croce. Quindi lo schema è \( n=6 \) prove ripetute indipendenti perché il risultato di un lancio non modifica le probabilità dei lanci successivi.
Chiamiamo \( X \) la variabile aleatoria che conta il numero di volte che esce testa in \( 6 \) lanci. Quindi \( X\) può assumere i valori interi compresi tra \( 0 \) e \( 6 \)

La variabile aleatoria \( X \) è quindi una binomiale con \( n=6 \) e \( p=\frac{1}{2} \): \( X \sim B\left(6,\frac{1}{2}\right) \)

La formula per calcolare la probabilità che \( X=k \) in \( n \) prove ripetute è \( P(X=k) = {n \choose k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \)

Noi vogliamo che esca testa “al più” due volte. Qui la parola chiave è “al più”: vuol dire che ci va bene se esce testa \( 0 \), \( 1 \) oppure \( 2 \) volte, cioè \( X \le 2 \):

\( P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)= \) \( = { 6 \choose 0} \left( \frac{1}{2}\right)^0 \left(\frac{1}{2}\right)^6+{ 6 \choose 1}\left( \frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^5+{ 6 \choose 2}\left( \frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \) \( = \frac{1}{2^6}+6\cdot \frac{1}{2^6} + \frac{6!}{4!\cdot 2!} \cdot \frac{1}{2^6}=\frac{22}{64}=0,34 =34\% \)

2. Qui vogliamo che esca testa “almeno” due volte, cioè può uscire testa \( 2 \), \( 3 \), \( 4 \), \( 5 \) oppure \( 6 \) volte. Dobbiamo quindi calcolare la probabilità \( P(X\ge 2) \). Per evitare di fare troppi conti, vediamo che la probabilità richiesta è uguale \( 1-P(X \le 1) \) cioè \( 1 \) meno la probabilità che escano meno di due teste. Così abbiamo:

\( P(X \ge 2) = 1- P(X\le 1)=1- P(X=0) – P(X=1)= \) \( = 1 – { 6 \choose 0}\left( \frac{1}{2}\right)^0 \left(\frac{1}{2}\right)^6 – { 6 \choose 1}\left( \frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \) \( = 1- \frac{1}{2^6}-6\cdot \frac{1}{2^6}=1-\frac{7}{64}=\frac{57}{64}=0,89 =89\% \)

Hai fatto questo quesito? Come ti è sembrato?